Теория атомных столкновений - Мотт Н.
Скачать (прямая ссылка):
волны, то функция / при этом почти не меняется и значение р в этой
области приближенно равно
Р SS У f • z -f const.
Э Этот метод разработал Джефрис [7].
22
ГЛ. I. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
Из формулы (1.14) следует, что И в такой области в первом приближении
остается постоянным и, следовательно,
А" " A'Yl " А].
В уравнение (1.15) можно пренебречь поэтому величиной А" по сравнению с
А'Р' (A'fi' по сравнению с А$" пренебречь нельзя, так как [3", в свою
очередь, мало).. Мы получаем в результате
24'Р' + РМ = 0
и, следовательно,
А = const [/ (z)]-1/4.
Наше приближенное решение имеет, таким образом, следующий вид:
г
& = [/(z)]_1/4exp | ф г ^ [/(г)]1/*^] . (1.16)
Число электронов N, проходящих за единицу времени через единицу площади,
равно произведению | <1> |2 на скорость электронов. Согласно (1.16),
имеем
1Ч>12 = [/(*)]-1/2>
тогда как скорость электронов равна ]/ 2 {W- V)/m, т. е. пропорциональна
[/ (z)]1/*. Величина N имеет, таким образом, одно и то же значение при
всех значениях z, как этого и следовало ожидать.
Можно показать аналогичным образом, что если /(z) отрицательно, то при
g(z)=-f(z) = 8Ap(V-W) приближенное решение волнового уравнения (1.13)
имеет вид [g(z)]-,Aexp | ^ [g{z)Y^dz^ .
Во многих случаях функция /(z) имеет такой корень z0, что
/ (2) > 0 (z>z0),
/ (z) < 0 (z<z0).
§'7. ФОРМУЛЫ ДЛЯ ТОКА; СОХРАНЕНИЕ ЗАРЯДА
23
Нас интересует обычно частное' решение уравнения, убывающее по мере
уменьшения z при z < z0. Джефрис [7] показал, что если f (z0) отлично от
нуля, то при z > z0 это решение имеет вид
г
4" = /-V4 Sin {-J + ^ [/ (Z)]V. dz } , (1.17)
*о
§ 7. Формулы для тока; сохранение заряда
Мы постулировали выше, что величина фф* должна равняться числу электронов
в единице объема в электронном пучке, описываемом волновой функцией ф,
или, точнее, что фф* dx равно вероятности нахождения электрона в элементе
объема dx. Аналогичные формулы могут быть получены также и для тока, т.
е. для числа электронов, проходящих за единицу времени через данную
площадь. Точнее, нас интересует определение такого вектора j, чтобы во
всех точках пространства произведение (j • dS) dt давало вероятность
того, что за время dt через элемент поверхности dS пройдет один электрон.
Искомая формула для j имеет вид
= 47^ grfid. - ф grfid 0*). (1.18)
Мы покажем, что эта формула правильно определяет вектор i во всех тех
случаях, когда он может быть измерен на опыте.
Если в некоторой области V постоянно или же равно нулю и имеется лишь
поток электронов, движущихся в направлении п, то волновая функция имеет
вид
2izinvcn • rN
. / 2izinvcn • г\
ф = a exp -h J,
a вектор j, как это следует из уравнения (1.18), равен оа2п.
В общем случае для измерения j на пути электронов следовало бы поместить
коллектор и измерить заряд, попадающий на него за единицу времени. В
результате такого опыта мы измерили бы среднее значение j для некоторой
области, размеры которой велики по сравнению с длиной волны; это значение
j является единственной величиной, которая может быть определена путем
непосредственного измерения. Если мы предположим, что F и, следовательно,
к в рассматриваемой области постоянны, то волновая функция будет иметь
вид
24
ГЛ. X. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
где ns -единичнхдй вектор, as - постоянная. Эта волновая функция
характеризует суперпозицию электронных пучков. То обстоятельство, что,
согласно волновой механике, такие пучки должны интерферировать, не окажет
влияния на число электронов, падающих на коллектор, поскольку размеры
коллектора велики по сравнению с длиной волны. Если площадь коллектора
равна А и если она перпендикулярна к направлению п, то число электронов,
падающих на нее за единицу времени, равно
!п • п,. (1.19)
Согласно формуле (1.18), это число должно определяться интегралом
^ j • n dS,
взятым по поверхности А. Как нетрудно видеть, это приводит к формуле
(1.19), так как члены вида
* Г 2mmv (ns-щ) ¦ г "|
asa? exp I ^-J
при усреднении по поверхности, размеры которой велики по сравнению с
длиной волны, обращаются в нуль.
Если речь идет об электронных пучках, имеющих различные источники, то as
должно быть выбрано в формуле asei?s, где cps - некоторая произвольная
фаза, не имеющая никакого отношения к фазе ср,. Для получения тока
следует усреднить выражение (1.18) по всем значениям <ps и <рг; при этом
члены, содержащие произведения различных функций, обратятся в нуль.
Мы будем называть вектор j вектором тока, хотя измерено непосредственно
может быть только среднее значение j.
С помощью волнового уравнения легко показать, что имеет место сохранение
заряда, т. е. что среднее число электронов, приходящих в некоторый объем,
в случае стационарного пучка равно числу электронов, выходящих из этого
объема. Для этого достаточно показать, что divj обращается в нуль. Из
уравнения (1.18) следует, что
Так как функции удовлетворяют уравнению Шредингера,
имеем
ф*у2ф=_ф*^(^-У)ф.
Член определяется точно таким же выражением. Отсюда
