Теория атомных столкновений - Мотт Н.
Скачать (прямая ссылка):
' ' S + 2ij|_[?f+lfc±4]B=0. (2Щ
Поскольку при больших г величина и почти постоянна, можно предположить,
что
?"*?•
Пренебрегая, в связи с этим первым членом уравнения (2.14) и интегрируя"
получаем
Ш In и = J [*7 (г) + n("a+1)] dr.
При больших г правая часть этого равенства стремится к постоянному
пределу только в том случае, если при г-> оо U (г) стремится
' i
, 1) Мы предполагаем, что если U (г) обладает в начале
координат полю-
сом, то его порядок не выше г-1: (См. § 3.)
§ I. ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕНСИВНОСТИ РАССЕЯНИЯ
3?
к нулю быстрее, нежели 1/г. Для полей, убывающих?, расстоянием быстрее,
нежели кулоново поле, функция G, действительно, имеет асимптотическую
форму (2.13). Случай кулонова поля будет рассмотрен в гл. III.
Частное решение уравнения (2.11), конечное в начале координат, будет
иметь асимптотическую форму
Сг~1 sin Qcr - гая + ^ ,
где С - произвольная постоянная, а т]п- некоторая постоянная *),
зависящая от к и от U (г); в общем случае т)" может быть найдено только
путем численного интегрирования (см. § 3). Ддя отыскания произвольной
постоянной С мы определим Ln (г) как такое частное решение уравнения
(2.11), которое имеет асимптотическую форму
(кг)~* sin Qcr - ymr-j-7in^. (2.15)
Найдем теперь постоянные Ап в разложении (2.10). Если мы вычтем из (2.10)
выражение (2.8), характеризующее падающую плоскую волну, то получим
выражение для рассеянной волны. Коэффициенты Ап должны быть выбраны таким
образом, чтобы последнее действительно характеризовало рассеянную волну,
т. е. так, чтобы асимптотическое разложение не содержало членов типа
r~le~iler. При больших га мы должны поэтому иметь для любых г
Ап Ln (г) - (2га + 1) г" /" (г) ~ Сп /-1 eitr,
где Сп - некоторая постоянная. Подставляя асимптотические значения L" и
/", получаем в левой части равенства выражение
{я- [Апе*п - (2га +1) i"] -^ [Ап е-гг'п _ (2",+ 1) г"],
где
Ар = кг - у гая.
Выбирая Ап так, чтобы второй член этого выражения обращался в нуль,
находим
А" = (2га -fel) in
Волновая функция, характеризующая падающую и рассеянную
*) Член -2'гал Добавлен для того, чтобы при V (г)=0 обращалось в нуль.
38 ГЛ. И. ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ ПУЧКА ЧАСТИЦ СИЛОВЫМ ЦЕНТРОМ
волны, имеет, таким образом, вид
СО
ф = 2 (2л + 1) ineiTlnLn (/¦) Рп (cos 0). (2.16)
п=о
Асимптотическая форма функции, описывающей рассеянную волну, имеет вид
р-1е"г/(0),
где
00
= (2/l+1)le2i,n-1l/3n(cos6)* (2-17)
n=О
Это выражение определяет амплитуду рассеянной волны. Следует отметить,
что функция /(0) комплексна; интенсивность рассеяния / (0) определяется
квадратом ее модуля, т. е. суммой А2 + В2, где
А Ш 2 (2и + leos 2у1п~ 1^"'
В = S (2га + 4) Sin 2ylnPn-
В общем случае эти ряды сходятся (см. § 2). Только в одном
случае - для рассеяния кулоновым полем - ряд (2.17) может быть
просуммирован с помощью известных функций (подробнее см. в гл. III). Мы
находим при этом, что интенсивность рассеяния имеет то же значение, что и
в классической теории. Однако для других исследованных силовых полей
результаты оказываются иными.
Полное сечение Q для упругого столкновения атома с электронами данной
скорости определяется как общее число электронов, упруго рассеянных
атомом за единицу времени из падающего пучка, интенсивность которого
равна единице (т. е. такого пучка, в котором за единицу времени через -
единицу площади поперечного сечения проходит один электрон). Практически
измеряется обычно число электронов, рассеянных на угол, превышающий
некоторый малый угол 0О; поскольку, однако, для атомных полей функция
/(0) при 0 = 0 конечна Q весьма нечувствительно к изменениям 0О, и 0О
можно поэтому положить равным нулю (см: гл. X, § 2). ¦ Q определяется,
таким образом, формулой вида
1C
Q = 2k \ |/(0) |2 sin0^0. о
$ 2. СООТНОШ. МЕЖДУ ФАЗАМИ ц лИ МОМЕНТОМ КОЛИЧ. ДВИЖЕНИЯ 39
Это дает
СО
<?=f2 (2" + 1)вт*Ч|1. (2.1В)
п=0
Излагаемый метод впервые был использован Рэлеем [2]. К задаче о рассеянии
электронов атомами он был применен Факсеном и Хольцмарком [3].
§ 2. Соотношение между фазами ¦"]" и моментом количества движения
рассеянной частицы
Фазы •"/", входящие в выражение (2.17) для амплитуды рассеянной волны,
определяются следующим образом. Обозначим через Gn (г) частное решение
уравнения
G"+ [к2 -U (г) - -п ("2+1} ] G - 0 (2.19)
(штрихи означают здесь дифференцирование по /¦). При больших
значениях г величина G будет иметь асимптотическую форму:
G ~ sin Qcr - у rair: + Tin^ .
Это выражение и определяет т)".
Если при больших г величина U (/¦) экспоненциально убывает до нуля, то
можно оценить величину tj." при достаточно большом п и тем самым число
членов, которое необходимо учитывать при вычислении ряда (2.17),
определяющего функцию/(&). Аналогичным способом может быть проверена
также и сходимость
этого ряда.
Обозначим
F(r) = k*-U(r)- n(nrtl) • (2.20)
Если U (г) не обладает полюсом более высокого порядка нежели г~х, то
функция F (г) при малых г отрицательна, а при больших г положительна; она
