Теория атомных столкновений - Мотт Н.
Скачать (прямая ссылка):
объема вблизи данной точки. Таким образом, если условия опыта заданы, то
мы должны определить значение | ф | в любой точке пространства.
Предположим, например, что пучок электронов, обладающих данной энергией,
проходит через щель S в хорошо откачанный сосуд, где благодаря наличию
электрического поля электроны движутся по криволинейным траекториям. Зная
условия опыта, мы должны вычислить функцию | ф |2; если наши правила
вычисления | ф р являются верными, то при этом должно оказаться, что вне
области нахождения электронов величина | ф |2 обращается в нуль, внутри
же этой области она равна наблюдаемой плотности электронов.
§ 2. ВОЛНОВАЯ МЕХАНИКА СТАЦИОНАРНЫХ ПУЧКОВ ЭЛЕКТРОНОВ 13
Определим прежде всего значения длин волн при данных условиях опыта. С
этой целью можно использовать непосредственно экспериментальные данные
[1]; изучение диффракции электронов кристаллами показывает, что если
электроны приобретают ускорение под действием некоторого заданного
электрического поля, то длина к соответствующих волн определяется
формулой
k = -t=, (1.1)
Y 2mW
где W - кинетическая энергия отдельного электрона. Это же соотношение
было получено в 1925 г. Де Бройлем на основании теоретических
соображений.
Энергия электрона W может быть измерена непосредственно, так как - W/е
представляет собой падение потенциала между источником электронов, где
они приближенно могут считаться неподвижными, и той точкой, в которой
измеряется длина волны. Для рассмотренного выше опыта должно иметь место
следующее соотношение:
W = W0 - V (ж, у, z),
где Wq - кинетическая энергия электронов при прохождении их через щель S,
а V (х, у, z) - потенциальная энергия электрона в точке (х, у, z), причем
V = - еФ (х, у, z), где Ф - электростатическая разность потенциалов между
S и точкой (х, у, z). Для опытов такого типа длина волны может быть
определена, таким образом, в любой точке пространства. Эти результаты
становятся, однако, несправедливыми, если градиент потенциала столь
велик, что W претерпевает заметное изменение на расстоянии порядка длины
волны (~ 10~8 см). С подобного рода полями мы имеем дело только во
внутриатомных областях.
Для определения волновой функции нужно знать также так называемые
"граничные условия". Последние зависят исключительно от рассматриваемых
условий опыта; в описанном выше опыте граничные условия заключаются в
задании состояния волны на поверхности щели, т. е. задании длины волны,
ее амплитуды и фазы на этой поверхности. Все эти величины, за исключением
фазы, определяются условиями опыта; что же касается фазы, то ей может
быть приписано любое значение, так как оно не повлияет на величину | ф |;
из аналогии с другими типами волновых процессов ясно, что эти условия
являются достаточными для определения волны во всех точках пространства.
Для вычисления функции ф мы должны знать, далее, волновое уравнение,
которому она удовлетворяет. Любая монохроматическая система волн в
однородной изотропной среде должна удовлетворять уравнению
у2ф + ^ф = 0,
14
ГЛ. I. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
где к -длина волны. Если среда неоднородна, так что к является функцией
положения, то амплитуда волны будет удовлетворять этому уравнению
приближенно при условии, что на расстоянии порядка /. изменение /. мало.
Подставляя в это уравнение экспериментальное значение к
' h ' " У 2т (W0-V) '
получаем волновое уравнение
(W0 - V)^ = 0, (1.2)
называемое волновым уравнением Шредингера.
Поставленное выше условие, согласно которому на расстоянии порядка /.
величина к не должна претерпевать заметных изменений, может быть записано
в виде
| gradF | к < W. (1.3)
Это неравенство удовлетворяется, очевидно, для всех макроскопических
полей. Можно показать, что в этом случае уравнение
Шредингера дает для пучка электронов те же результаты, что и механика
Ньютона.
Действительно, если пучок волн движется в среде с переменным
коэффициентом преломления р, то его траектория криволинейна; радиус
кривизны R в любой точке траектории определяется при этом хорошо
известной формулой
1 д .
Коэффициент преломления р. представляет собой, как известно, отношение
длины волны в рассматриваемой точке к длине волны в отсутствие внешних
сил; в нашем случае
и, следовательно,
Tt=-Is IW>-n (i.4>
Согласно механике Ньютона, произведение массы т на ускорение о2/R,
нормальное к траектории электрона, должно, однако, рав-
av "
няться - т. е. составляющей внешней силы в нормальном направлении.
Подставляя
тиг>2 = 2(Wa - F),
§ 2. ВОЛНОВАЯ МЕХАНИКА СТАЦИОНАРНЫХ ПУЧКОВ ЭЛЕКТРОНОВ 1S
получаем уравнение (1.4). Как волновая, так и классическая механика в
данном случае приводят, таким образом, к одинаковым результатам.
Волновая механика приводит к результатам, отличным от классических только
в том случае, когда она применяется для описания движения электронов в
сильных полях, существующих внутри атомов. Прежде чем применять уравнение
Шредингера (1.2) для решения задач такого рода, мы должны остановиться на
