Теория атомных столкновений - Мотт Н.
Скачать (прямая ссылка):
рассмотрении двух вопросов. Во-первых, потенциальная энергия электрона V
(ж, у, z), в точке (ж, у, z) в этом случае уже не может быть определена
экспериментально. Согласно принципу неопределенности, скорость электрона,
наблюдаемого в точке (ж, у, я), неизвестна; изменение V (ж, у, z)
кинетической энергии электрона при его переходе из свободной от сил
области пространства в точку (ж, у, z) не является, следовательно,
экспериментально наблюдаемой величиной. О смысле функции V (ж, у, z)
можно поэтому сказать лишь следующее: если мы подставим эту функцию в
уравнение Шредингера, то получим результаты, находящиеся в согласии с
опытом. Конечно, если мы хотим описать движение электрона в поле ядра,
обладающего зарядом Е, то мы воспользуемся прежде всего кулоновой формой
потенциала
yr / v Ев
V(x, у, z)= -т,
так как именно в этой форме определяется потенциальная энергия одного
макроскопического заряженного тела в поле другого такого тела. Подобный
выбор функции У(г) оправдывается, однако, лишь тем обстоятельством, что
он приводит к результатам, согласующимся с опытными данными; априори мы
не имеем сведений о том, является ли такая форма потенциала правильной,
так как V (г) не есть величина, измеряемая на опыте1).
Остается теперь выяснить, является ли уравнение (1.2) при любой форме
функции V тем уравнением, с помощью которого может быть описано движение
в атомных полях. Мы видели, что это уравнение, так же как и вероятностная
интерпретация функции <J> (при условии, что речь идет о движении
электронов в медленно меняющихся полях), основано на опытных данных по
диффракции электронов кристаллами. Предположение о возможности применения
этого уравнения для исследования 'законов движения в атомных полях
является принципиально новым. Такое предположение можно будет считать
оправданным, разумеется, только в том случае, если оно приведет к
результатам, находя-
г) Авторы дают, здесь не вполне четкую формулировку соотношений
неопределенностей; правильное изложение этого вопроса читатель может
найти в книге Блохинцева "Основы квантовой механики" [5]. СПрим. ред.)
16
ГЛ. I. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
щимся в согласии с опытом. Простейший способ проверки теории - выяснить,
обеспечивает ли она выполнение условия сохранения заряда, согласно
которому число электронов, попадающих в некоторый замкнутый объем,
равняется в среднем числу электронов, покидающих этот объем. В дальнейшем
мы убедимся в том, что это условие выполняется (см. § 7).
Волновое уравнение Шредингера является, таким образом, простейшим
волновым уравнением, которое: 1) дает длину волны Де Бройля в случае
медленно меняющихся полей; 2) обеспечивает сохранение заряда для любых
полей.
§ 3. Примеры волновых функций, описывающих стационарные пучки электронов.
Бесконечная плоская волна
Бесконечно широкий пучок электронов, движущихся слева направо вдоль оси
z, может быть описан с помощью волновой функции х)
ф = .Аехр 2гсг , (1-5)
где /ч - длина волны, равная
h
VlmW
(W - кинетическая энергия), v -частота, причем (см, § 8)
Число электронов в единице объема равно АА*, а число электронов,
проходящих за единицу времени через единицу площади, перпендикулярной к
оси z, равно AA*v, где и определяется соотношением
§ 4. Пучок электронов в отсутствие внешних сил
Рассмотрим пучок электронов, образующийся в результате прохождения
электронов через круглое отверстие радиуса а, имеющееся в некотором
экране. Начало координат выберем в центре отверстия, оси х ш у расположим
в плоскости экрана (фиг. 1). Электроны будут в таком случае двигаться
вдоль оси z. Построим нашу волновую функцию ф путем суперпозиции плоских
волн
Ч Часто оказывается удобным опускать временной множитель и записывать
волновую функцию в виде AeZnizl*-
§ 4. ПУЧОК ЭЛЕКТРОНОВ В ОТСУТСТВИЕ ВНЕШНИХ СИЛ
17
длиной к, распространяющихся в направлениях, почти параллельных оси z,
таким образом, чтобы в плоскости ху она была отлична от нуля лишь в
области, занимаемой отверстием. Уравнение плоской волны,
распространяющейся в направлении,
определяемом полярными углами1) аир, имеет вид
¦ A exp (z cos а + х sin а cos р + у sin а sin р) J .
Отсюда следует, что наша волновая функция ф должна иметь форму
ф =Л ^ А (а, Р) exp (z cos а -f х sin а cos Р -f у sin а sin Р) J da
dp,
(1.6)
причем А (а, Р) должно быть выбрано таким образом, чтобы <1> обращалось в
нуль во всех точках плоскости ху, за исключением области, занимаемой
отверстием. Переходя к сферическим координатам (г, 0, <f), имеем
* = ^ А (а, Р) ехр | ^ г [cos 0 cos а + sin 0 sin a cos (<р - Р)] | da
dp.
Из соображений симметрии ясно, что А зависит только от а; выполнив
интегрирование по р, получим
те/2
ф=н2тр ^ A (a) da exp cos 0 cos а^ /" sin 0 sin а^ , . (1.7)
1 0
где /" - функция Бесселя.
х) Если I, т, п-направляющие косинусы, то имеем Z=sin a cos w=sin о sin
[i, ra = cosa,
2 H. Мотт и Г. Месси
18
ГЛ. I. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
Для нахождения А (а) предположим, что в плоскости ху, т, е. при 0 = тс/2,
