Теория атомных столкновений - Мотт Н.
Скачать (прямая ссылка):
следует, что divj = 0.
§ 7. ФОРМУЛЫ ДЛЯ ТОКА; СОХРАНЕНИЕ ЗАРЯДА
25.
Интересно отметить, что процесс поглощения частиц пучка может быть описан
путем введения в уравнение Шредингера отрицательного мнимого значения
потенциальной энергии. Если скорость поглощения частиц составляет ар на
единицу объема в 1 сек, где р - плотность, то в стационарном состоянии
divj + ap = 0. (1.19а)
Полагая в (1.12) V = VT - iVl, где Vг и Vt-вещественные функции г, имеем
ф=Т2Ф = - ф* ^ (W - Vr + iVt) Ф, фУ2ф* = _ ф*^ (W - Vr - iVt) ф*,
так что
div j = 7--: (ф*^26 - <1А~2ф*) = - .
J 4тсmi 'т 1 ' " ' h
Сопоставляя это выражение с (1.19а), находим
Этот результат будет использован нами в гл. VIII, § 8.
§ 8. Задачи, в которых | ф |2 меняется с течением времени
Рассмотрим хорошо откачанную разрядную трубку, в которой пучок электронов
падает на экран, снабженный отверстием с заслонкой. Предположим, что
отверстие внезапно открывается; в таком случае по истечении короткого
промежутка времени t поток электронов, прошедший через отверстие, будет
простираться от него на расстояние vt. Здесь v - скорость электронов; с
энергией электронов W в ускоряющем поле эта скорость связана соотношением
С точки зрения классической механики этот результат тривиален. Однако,
согласно нашим основным представлениям, мы могли бы получить такой
результат, лишь постулируя нали чие некоторой волны и предположив затем,
что | ф |2 равно числу электронов в единице объема. С волновой точки
зрения мы имеем стационарную систему волн, падающих на экран до тех пор,
пока отверстие в экране остается закрытым. Когда заслонка открывается,
пучок электронов проходит через отверстие; скорость перемещения фронта
пучка есть групповая скорость волн..
26
ГЛ. I. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
Групповая скорость любого волнового процесса определяется
как dN ' где v - частота, a N - волновое число, равное 1 />.
(а - длина волны). Для того чтобы волновое описание не противоречило
опытным фактам (в данном случае - классической теории), эта скорость
должна равняться классической скорости электронов у. Мы имеем, таким
образом,
dv
dN ~~
Выражая у через N, получаем
dv hN
dN т
Проинтегрировав это уравнение, находим
hNа W
' const = -7- + const.
2т h
Соотношение
Av = Е,
где Е - релятивистское значение энергии частицы ((с учетом массы покоя),
Е = те^-^У'\
было получено Де Бройлем [8] на основании соображений, связанных с
принципом относительности. Если у/с мало по сравнению с единицей, то это
соотношение сводится к
г. 2 I mv
Av -= тс* -}- -я- .
Z *
Отсюда может быть определено значение константы тс*. Последнее не должно,
однако, влиять на результаты эксперимента; в нерелятивистской теории
удобно положить эту константу равной нулю.
В общем случае волновое уравнение немонохроматического волнового процесса
имеет вид
= <12("
Наиболее просто это уравнение может быть получено следующим образом.
Волновая функция, описывающая поток электронов, обладающих энергией W,
удовлетворяет уравнению
^ + (r)^(^-Е)ф = 0. (1.21)
§ 9. ВОЛНОВЫЕ ПАКЕТЫ
27
Эта волновая функция, как было показано, имеет следующий вид:
ф = /((r), у, z)exp(-^p). (1.22)
Искомое уравнение не должно содержать W; с помощью (1.22) получаем 4
w* = -
2т dt
Из уравнения (1.21) следует, что уравнению (1.20) удовлетворяют волновые
функции, описывающие поток электронов, обладающих одной и той же
энергией, т. е. волновые функции типа (1.22). Волновую функцию наиболее
общего типа мы получим путем суперпозиции таких волновых функций; эта
наиболее общая волновая функция будет, таким образом, удовлетворять
уравнению (1.20).
С помощью волнового уравнения (1.20) легко может быть получен закон
сохранения заряда. Если мы обозначим величину ф<|>* через р, то интеграл
^ р dx, взятый по какому-либо объему, будет равняться вероятности
нахождения электрона п этом объеме. Интеграл ^ j - dS будет при этом
определять
пороятность выхода электрона из рассматриваемого объема за единицу
времени. Мы должны иметь, таким образом,
д
dt
^ (< dx -|- ^ j • dS = 0. (1-23)
Это означает, однако, что должно иметь место соотношение
do
dt
+ divj = 0. (1-24)
Соотношение (1.24) легко может быть доказано с помощью волнового
уравнения (1.20) и определения вектора тока j (1.18) [9].
§ 9. Волновые пакеты
Предположим, что пучок электронов падает на экран, в котором имеется
отверстие, первоначально закрытое какой-либо заслонкой; заслонка
открывается затем на короткий промежуток времени и снова закрывается. В
результате такого опыта электроны будут проходить через отверстие и
перемещаться за его пределы. Можно было бы сказать, что при этом
перемещается в пространстве область, в которой плотность электронов
отлична от нуля. Размеры такой области будут тем меньше, чем меньшее
время было открыто отверстие в экране.
28
ГЛ. I. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
Для описания этого явления на языке волновой механики мы должны ввести в
рассмотрение пакет волн Де Бройля, падающих на экран, а также "волновой
