Теория атомных столкновений - Мотт Н.
Скачать (прямая ссылка):
пакет" или "волновую группу",-проходящую через отверстие в экране.
Квадрат амплитуды волновой функции определяет при этом, как обычно,
вероятное значение плотности электронов. Волновая группа будет
перемещаться в пространстве с групповой скоростью волн Де Бройля;
последняя, как мы видели, равна классической скорости соответствующих
электронов. В этом случае волновая механика приводит, таким образом, к
тем же результатам, что и механика классическая.
Если $(х, г/, z, ?) -волновая функция в некоторой точке волнового пакета,
то число п, определяемое1) интегралом вида (взятым по всему пространству)
представляет собой вероятное число электронов, прошедших через отверстие.
Если интенсивность электронного пучка была вначале достаточно малой или
если отверстие было открыто в течение очень короткого промежутка времени,
это число будет порядка единицы. Следует отметить, что если бы п
действительно равнялось единице, то это не означало бы, конечно, что за
единицу времени через отверстие в экране проходит только один электрон
Отсюда лишь следует, что если бы рассматриваемый опыт был повторен очень
большое число раз р, то общее число электронов, прошедших через
отверстие, равнялось бы рп, даже в том случае, если в отдельных опытах
число п принимало значения 0, 1, 2 и т. д.
При рассмотрении волновых пакетов волновую функцию обычно нормируют таким
образом, чтобы п равнялось единице.
Изучение волновых пакетов не может дать нам сведений о результатах
опытов; практически во всех опытах мы имеем дело с непрерывным потоком
свободных электронов. В связи с тем, что волновые пакеты имеют некоторое,
правда, довольно поверхностное, сходство с частицами классической теории,
изучение законов их движения дает нам возможность понять основные идеи
волновой механики. Так, например, если в каком-либо случае можно
показать, что волновой пакет будет двигаться по такой же траектории, как
и классическая частица, то можно утверждать, что при решении данной
задачи волновая и классическая механики приведут к одним и тем же
результатам.
Одномерное движение волнового пакета в однородной среде. Для волнового
движения любого типа существует определен-
Величина п от времени не зависит (см. § 8).
§ 9. ВОЛНОВЫЕ ПАКЕТЫ
2"
ное соотношение между частотой v и волновым числом N. Для волн Де Бройля
в нерелятивистской теории это соотношение имеет вид
hN2 v- 2т '
Здесь мы будем предполагать, что в общем случае
v = v (N).
Волновой процесс наиболее общего типа может быть охарактеризован волновой
функцией вида
ОР
^ ^ a (N) ехр [2чй (Nz - v?)] dN,
-OO
где a(N) - некоторая произвольная комплексная функция. Этот волновой
процесс получается путем суперпозиции бесконечного* числа плоских волн с
произвольными амплитудами и фазами. Множитель a(N) может быть при этом
выбран таким образом, чтобы в момент времени t = О функция <!> имела
любую желаемую форму. Мы предположим, что в момент t = 0 наш волновой
пакет характеризуется функцией
<i" = Cexp(2"iV0z-J). (1.25)
Амплитуда колебаний выбрана здесь в виде функции Гаусса, так как в
этом случае интегрирование может быть осуществлено
с помощью известных функций. В начальный момент времени
волновой пакет находится, таким образом, вблизи начала координат, обладая
при этом волновым числом N0 и шириной порядка 2а. Легко видеть (в
дальнейшем это будет доказано), что
а(А) = С)/теаехр[ -(iV -А0)2я2з2]. (1.26)
Для определения формы волнового пакета в любой последующий момент времени
мы должны вычислить интеграл
СО
4" = J C\f(tm)exp[2izi(Nz-vt)-(N-N0)Wa*]dN. (1.27)
- СО
Разложим частоту v в ряд Тейлора:
v ^ vo + {N _No) V' + (N- N0)X + • • .,
где v0, v(, и т. д. - значения v и ее производных по N при N = N0. Если
предположим, что а > X, то ясно; что численное значение йнДеГрала (1.27)
будет в основном определяться значениями1 N, близкими к N0; в разложении
v можно будет поэтому прейебречь членами порядка (N - N0)3 и выше.
Отметим, что для волн
30
ГЛ. I. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
Де Бройля в нерелятивистской теории такое приближение будет точным, так
как v является в этом случае квадратичной функцией N.
Полагая
N-N0 = l,
получаем
СО
4--Cj/лз ^ ехр(-• aC2-j-2&C + c)dC,
- ОЭ
где
а = тс2а2 -f- jtivq t, b= -r.i (v'Qt - z), c - 2xi (N0z - v0t).
Подинтегральная функция может быть записана в форме
ехр[-в(с-!)8 + с + ?].
Полагая С - Ь/а = - г(, имеем
СО
ф = С |/" тг а ехр 4- ^ е-ат)2 ^ _ Q^aa-4% еХр 4*~^ •
-оо
Подставляя значения а, Ь и с, получаем окончательно 4 = С (l-|- ?* )"1/f
ехр 2" (N0z v0?)----------------
=2 + -
В момент времени г = 0 волновой пакет характеризуется волновой функцией
(1.25), как этого и следовало ожидать. В момент времени t центр волнового
пакета находится в точке
z = Vq ?.
Скорость перемещения волнового пакета равна, таким образом, групповой
скорости ^. Весьма существенным свойством волнового пакета является его
способность расплываться с течением времени. Рассматривая только
экспоненциальный множитель функции ф, мы получаем следующее значение ее
