Теория атомных столкновений - Мотт Н.
Скачать (прямая ссылка):
один электрон на единицу объема и, следовательно, поток v электронов,
проходящий в единицу времени через единицу площади поперечного сечения.
Волна будет рассеиваться атомом; амплитуду рассеянной волны в точке (г,
0, <р) представим в виде
r~l f (В) eiir.
Наша задача сводится к определению функции / (0). Зная эту функцию, мы
сможем подсчитать число электронов, рассеянных за единицу времени внутри
данного телесного (угла. Число рассеянных электронов, проходящих за
единицу времени через элемент поверхности dS в точке (г, 0, <р), равно
г>г~2 dS | / (0) | 2; если в падающем пучке за единицу времени через
единицу площади поперечного сечения проходит только один электрон, то
число электронов / (0) dm, рассеянных за единицу времени внутри данного
телесного угла dm, равно | / (0) | 2 dm. Мы имеем, таким образом,
: 1 (6) = 1 / (0) I *•
Число электронов, рассеянных в интервале между 0 и 0 + db, равно
| / (0) 122?rsin 0 db.
Наша задача заключается в отыскании такого решения ф волнового уравнения,
которое на больших расстояниях от атома характеризовало бы падающую и
рассеянную волны. Это значит, что при больших г мы должны иметь
ф ^ eiiz + г-1 eiir / (0). (2.1)
1^rcos0=z, г sin 0 е1^ -х-\- iy.
3 н. Мотт и Г. Месси
34 гл. II. ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ ПУЧКА ЧАСТИЦ СИЛОВЫМ ЦЕНТРОМ
Волновое уравнение, которому удовлетворяет функция <|> (урав-. нение
Шредингера), может быть записано в виде
у2ф + [А2_?/(/.)]ф = 0> (2.2)
где
k = U(r) = ^V(r).
Плоская волна eikr является решением уравнения
V2<|> + &^ = 0. (2.3)
Это уравнение может быть решено также в сферических координатах; легко
убедиться в том, что функция
<|> = Р" (cos 0) /"(/¦)
является его решением, если /" есть решение уравнения
T.i(r'§ <2-4>
а Рп (cos 0) - полином Лежандра n-го порядка [1]. Решение уравнения (2.1)
может быть представлено в виде ряда; при этом имеются два решения, одно
из которых начинается с члена гп, другое- с члена r~n_1; оба эти решения
могут быть выражены через функции Бесселя [см. формулу (2.9)]. Обозначим
через fn(r) решение уравнения (2.4), конечное в точке г - 0. Функция /"
(/¦) известна, таким образом, с точностью до произвольного постоянного
множителя.
Если ^" - произвольные постоянные, то выражение
СО
2 А *" (cos в)/" (Г) (2.5)
л=0
является решением уравнения (2.3); мы знаем, что оно является наиболее
общим решением этого уравнения, обладающим осевой симметрией (т. е. не
содержащим <р) и конечным в начале координат. Отсюда следует, что функция
еш может быть представлена в виде
СО
eiы = gi*r cos о ^ 2 АпРп (cos 0) /" (г)
Л=О
Для определения Ап умножим обе части этого равенства на •P"(cos0)sin0 и
проинтегрируем его от 0 до те. Полагая cos 0 = t, получим
1
2^1 4, /" (г) = $ eitrt Рп (t) dt, (2.6)
-i
§1. ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕНСИВНОСТИ РАССЕЯНИЯ Э5
где /" известно с точностью до произвольного постоянного коэффициента, от
которого зависит также и коэффициент Ап. Функ-1 ция /" может быть
определена точно с помощью ее асимптотического разложения при больших г.
Интегрируя правую часть равенства (2.6) по частям, получаем
1
-1
Второй член этого выражения - величина порядка 1 /г2; при больших таким
образом, имеем
Поскольку Р"(1) = 1, а Рп (- 1) = (- 1)", правая часть этого соотношения
равна
2in (кг)~л sin Qer-~ га?.
Определим теперь функцию /" полностью, потребовав, чтобы она была
решением уравнения (2.4), имеющим асимптотическую форму
/"(r)~(&r)-*siri(b--у/ис). (2.7)
В таком случае Ап равно (2га + 1) in и, следовательно, ряд
СО '
=2 (2и+1)г'прп(cos0)(2-8)
п=О
представляет собой искомое разложение. Приведем также соотношения,
связывающие функции /" с функциями Бесселя:
Ш-т?-
<2-9>
Рассмотрим теперь волновое уравнение (2.2) для электрона, находящегося в
поле атома. Как и прежде, общее решение уравнения (2.2), обладающее
осевой симметрией, имеет вид
со"
ф = 2 AnPn(C0Sb)Ln(r), (2.10)
л=0 ¦ ' ¦ ¦
где ^" - произвольные постоянные, a L" - решение уравнёния
<2-и>
3*
ж ГЛ. II. ТЕОТИЯ РАССЕЯНИЯ ПУЧКА ЧАСТИЦ СИЛОВЫМ ЦЕНТРОМ
Уравнение (2.11) попрежнему имеет два независимых решения1), одно из. них
конечно в начале координат, другое -бесконечно. Мы выберем постоянные Ап
таким образом, чтобы функция (2.10) характеризовала падающую и рассеянную
волны, т. е. чтобы она имела асимптотическую форму (2.1). Наша волновая
функция должна оставаться конечной во всех точках пространства; мы должны
поэтому выбрать то из решений Ln уравнения (2.11), которое имеет конечное
значение в начале координат. Ln (г) определено тем самым с точностью до
произвольного постоянного коэффициента.
Если мы положим
^n(r) = r-'G(r), то уравнение (2.11) примет вид
+ [Л" - U (г) - ^±±>] G = 0. (2.12)
При больших г последние два члена этого уравнения стремятся к нулю; можно
поэтому ожидать, что любое решение G имеет асимптотический вид
G-^.4 sin (Ат-j-г), (2.13)
где А и е - некоторые постоянные.
Для того чтобы выяснить так ли это, положим
G = и (r)eihr.
Подставив это значение G в уравнение (2.12), получим
