Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
форме закона Ома J = оЕ, то из уравнений Максвелла следуют так называемые
телеграфные уравнения
\ с2 dt2 с2 dt ) { В j При этом соотношение (1.10.5) заменится уравнением
D (k, ю; от) = k2 - г)р, г) = в + -J-.
Если ввести комплексный показатель преломления р = =д/Tjpi -n - iK, где
пн К вещественны и положительны, то можно показать, что К играет роль
коэффициента ослабления волны. Таким образом, электромагнитные волны
затухают.
Электромагнитные волны в вакууме, как показывают уравнения (1.10.6), при
е = р = 1, о = 0 распространяются без затухания со скоростью света.
'В. Анизотропные материалы, электромагнитная оптика
Явления оптики по самой своей природе динамические, и их нельзя адекватно
рассмотреть в рамках статики. Следовательно, для описания диэлектриков
нужно взять полную систему уравнений (1.10.1).
Рассмотрим случай линейных анизотропных диэлектриков <с пренебрежимо
малой намагниченностью. Вместо соотношений
§ 1.10. Электромагнитные волны 61
Д.10.2) и (1.10.3) имеем соотношения
qf = 0, J = 0, Р = Х Е, М = 0, (1.10.7)
В = Н, D-e-E, е = {е// = б</ + х,/}. (1.10.8)
Здесь е и х-симметричные тензоры второго порядка с компонентами еу и х"у
в декартовой системе координат. Термодинамическое рассмотрение
показывает, что соответствующая % квадратичная форма является
положительно определенной. Вследствие этого все компоненты тензора с
вещественны, а его собственные значения положительны. Для многих
кристаллов нужно учитывать тот факт, что диэлектрическая постоянная
зависит от направления электрического поля, а также то, что
результирующая электрическая индукция D может быть не .параллельной Е,
так что далее будет использоваться обычно общее соотношение между этими
двумя векторами в виде второго уравнения (1.10.8). В более сильных полях
Е, (какие встречаются в лазерах, в выражении для индукции D мргут
понадобиться дополнительные слагаемые более высокого rib-рядка по Е.
Здесь мы вступаем в область нелинейной оптики, которая находится за
рамками этой книги.
Рассматривая распространение света, т. е. электромагнитных волн
(Максвелл), предположим, что реальные физические величины Е, Н и D одной
монохроматической компоненты света являются вещественными частями
соответствующих комплексных величин с общим множителем exp(iwt). Тогда из
уравнений (1.10.1) получаем
V X Е + (to/c) Н = 0,
П 10 91
V X Н - (ш/с) D = 0. u-iu.y;
Применив операцию ротор к первому уравнению и учитывая второе, найдем
V X (V X Е) = (<й2/с2) D. (1.10.10)
В плоской волне, распространяющейся в прозрачной среде, все величины
пропорциональны множителю ехр(-ik-r) с вещественным волновым вектором к.
Таким образом,
(Е, D, Н) ~ ехр [г (<ai - к • г)]. (1.10.11)
Из уравнений (1.10.1) и (1.10.10) следует, что Н • к = 0, D • к = 0,
(1 10 12)
((r)/с) Н = к X Е. (<о/с) D = -к X Н; 1 ;
D = л2Е - n (Е • п) = л2 [Е - s (Е • s)], (1.10.13)
луге пив определены равенствами
к = (<й/с)п, n = ns, л = |п|, s • s = 1. (1.10.14)
62 Гл. 1. Основные электрические и магнитные свойства твердых тел
Здесь п - показатель преломления, зависящий от направления п и частоты
со; s - единичный вектор, перпендикулярный плоскости волны при постоянной
фазе ? = k-r - соt. Из рассмотрения уравнений (1.10.12) и (1.10.13)
следует, что векторы D,. Н, к взаимно ортогональны. Кроме того, так как Н
ортогонален Е, все векторы D, Е, к (или п) также ортогональны Н, т. е.
лежат в одной плоскости. Однако в отличие от случая изотропной среды (ср.
с уравнениями (1.10.4)) здесь вектор Е,, вообще говоря, не
перпендикулярен направлению распространения, указанному вектором к. Легко
установить, что вектор Пойнтинга, имеющий смысл потока энергии и
определяемый формулой
S = сЕ X Н (1.10.15>
для плоской волны, распространяющейся в оптически анизотропной прозрачной
среде, имеет вид
S = с [Е2п - (Е • п) Е]. (1.10.16>
Если заметить, что D = -n X Н и Н = n X Е, то можно показать, что
энергия, сконцентрированная в волновом пакете, движется вместе с ним или,
иными словами, вектор Пойнтинга по направлению совпадает с вектором
групповой скорости, определяемым формулой
vg = dco/dk. (1.10.17)
Для вывода уравнения (1.10.13) нужны только уравнения Максвелла (1.10.1)
и функциональная зависимость (1.10.11). Для полного исследования
оптических свойств диэлектрических кристаллов нужно рассматривать
уравнения (1.10.12), (1.10.13) совместно; с учетом зависимости (1.10.11)
уравнение
(1.10.8) переписывается в виде
D = е (ю) • Е. (1.10.18)
Таким образом, оптические свойства кристалла тесно связаны со свойствами
симметрии тензора е (со) и с геометрией соответствующей ему квадратичной
формы. Исследования в этом направлении приводят к понятию уравнений
Френеля, эллипсоида Френеля, оптической индикатрисы (или эллипсоида
Пуансо) и волнового вектора; соответствующие сведения читатель может
найти в классических трудах по электромагнитной оптике [Born, 1972;
Klein, 1970; Ландау и Лифшиц, 1982]. На этом пути создана оптическая
