Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
имеется существенная дисперсия по волновому числу. Чтобы рассмотреть этот
эффект наглядно, нужно связать уравнение
(1.12.2) с распространением электромагнитной или оптической волны. Для
этого заметим, что динамическая диэлектрическая восприимчивость кристалла
имеет вид
(Р/Е) (<й) = X ((c)) = qy Ы/Е = q2Y (ю). (1.12.5)
Существующий показатель преломления определяется формулой
(kc \2 (еп - 11 со?.
-) =1 + х(м)=в(ц) = 1 +-2- ?' О-12-6)
(О / СО j4 "" 0)
где
8о==8(<й = 0)=1 +q2/2A0. (1.12.7)
Очевидно, что
ето = е (<й оо) == 1. (1.12.8)
Уравнение (1.12.6), приведенное относительно со, имеет вид
со4 - (k2c2 + е0<й|) <й2 -(- k2c2(?t2T = 0. (1.12.9)
Для малых k есть два приближенных решения
ш+~ V^tOr-fl + (1.12.10)
I Щ^т j
Последнее значение есть не что иное, как обычная скорость света (ср. с
уравнением (1.10.6)). Для больших k (однако
5*
68 Гл. 1. Основные электрические и магнитные свойства твердых тел
малых по сравнению с толщиной зоны Бриллюэна; это понятие
можно найти в работе [Kittel, 1971]) уравнение (1.12.9) имеет
решения
со +-ck, (c)_ = %. (1.12.11)
Две дисперсионные ветви, соответствующие точным решениям уравнения
(1.12.9), записанного в виде 2) (a, 6)= О, показаны на рис. 1.12.1, где
мы положили
(oL = Vso(c)r. (1.12.12)
Последнее есть не что иное, как частота так называемой продольной
оптической моды [Nelson, 1979]. Область на рис. 1.12.1,
Рис. 1.12.1. Дисперсионная кривая для поляритонов (схематическая).
где кривые со (к) имеют наибольшую кривизну, называется областью
поляритонов. Очевидно, что если мы идем вдоль нижней ТО-ветви в сторону
роста k, то соответствующая групповая скорость уменьшается, чтобы
достигнуть нуля после прохождения через область поляритонов. Этот эффект
был экспериментально обнаружен Хенри и Хопфилдом в 1965 г. при помощи
техники рассеяния Рамана в кристаллах GaP (см. рис. 1.12.2, на котором
диаграмма изображена в энергетических единицах эВ). При взгляде на
схематический рис. 1.12.1 видно, что на диаграмме (со, k) имеется
запретный сектор для фазовой скорости волны (между прямыми с угловыми
коэффициентами с/л/ех и с/д/е о )> соответствующий так называемой стоп-
полосе (см. диаграмму ш(е) на рис. 1.12.1). Этот факт можно установить
аналитически, если разрешить уравнение
(1.12.9) относительно k2:
§ 1.12. Поляритоны и солитоны
69
Левая часть этого уравнения положительна тогда и только тогда, когда
%<(c)<(c)?,. (1.12.14)
В заключение этого раздела отметим следующее замечательное соотношение,
известное как уравнение Ливана - Закса - Теллера (Lyddane - Sachs -
Teller)
(ш^/сог)2 == Вз/боо. (1.12.15)
Йсу, эв
Рис. 1.12.2. Дисперсионная кривая для поляритонов по измерениям методом
рассеяния Рамана для кубического GaP. (См. Henry С. Н., Hopfield J. J.-
Phys. Rev. Lett., 1965, 15, p. 964.)
Пример нелинейной волны: солитоны в диэлектриках 1)
Солитоны, или одиночные волны, исследуются во многих разделах физики
[Whitham, 1974]. Пример распространения такой нелинейной волны можно
найти в рамках вышепредставлен-ного описания ячейки, если в уравнение
(1.12.2) ввести нелинейную возвращающую силу. Тогда для одномерной модели
уравнение (1.12.2) заменяется на уравнение
mij + 2А(У + 2Axy3 = qE, Ах > 0. (1.12.16)
Из уравнений Максвелла следует одномерное неоднородное волновое уравнение
____________ Е" - (e0o/c2)E = (q/c2) ij, (1.12.17)
Этим примером мы обязаны Д. Ф, Нельсону (D. F. Nelson, частное сообщение,
1979).
70 Гл. 1. Основные электрические и магнитные свойства твердых тел
где Е" = д2Е/дх2. Потенциальная энергия оптических мод, связываемая с
уравнением (1.12.16), имеет единственный минимум при у = 0, так что
невозмущенное состояние кристалла соответствует состоянию у = 0 с Е = 0.
Будем искать стационарное импульсное решение уравнений (1.12.16),
(1.12.17) при помощи преобразования в движущуюся систему координат 1 = х
- vt. Двойное интегрирование уравнения (1.12.17) дает
Е = v2qy/(c2 - exv2). (1.12.18)
Граничные условия рассматриваемой задачи имеют вид
= у = = '5|"==0 при % = (1.12.19)
Уравнение (1.12.16) принимает форму
mv2^ + A'0y + A'ly* = 0, (1.12.20)
где
2A0v2 (ug - tJ2)
А' == ->- v2 - с2 Ip
"2 Л,2 "2\ ' Uoa L /еоо>
М0"-(r)) (1.12.21)
ио = с2/8о> А'= 2 л,;
диэлектрическая постоянная е0 определяется соотношением (1.12.7):
ео= 8оо + (<12/2А0). (1.12.22)
Решение уравнения (1.12.20) в виде солитона существует тогда и только
тогда, когда А'0 < 0, т. е.
v0<v<vM. (1.12.23)
Проведя сравнение с (1.12.14), обнаруживаем, что разрешенная область для
скоростей солитонов совпадает с запрещенной областью для фазовых
скоростей поляритонов. Наконец, дважды проинтегрировав уравнение
(1.12.10) при помощи условия
(1.12.19), получим солитонное решение
у = у0 sch[?(i-i0)], ? = -Wo sch[^(|_y]i (1Л2.24)
"О со)
где у о = v(m/A\)V2 - амплитуда оптической моды, k - псевдо-волновое
число, определяемое соотношением
Г V2 - и? 11/2
-• (1.12.25)
Это соотношение может рассматриваться как дисперсионное уравнение для
