Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
33.13. Угловая скорость черной дыры
Общая теорема (см. [169] для релятивистского случая и [170] для нерелятивистского случая) гласит: если мы инжектируем момент импульса во вращающуюся звезду, оставляя при этом все другие вклады в полную массу-энергию фиксированными (вклад за счет энтропии и вклад массы покоя барионов), то инжекция приведет к следующему изменению массы-энергии:
/угловая скорость\ , момент v б (масса-энергия) = I звезды в точке I б 1ИМПуЛЬСа) ¦ (33.61) Чинжекции 1
По аналогии с этим, инжектируя момент импульса бS во вращающуюся черную дыру и оставляя все другие вклады в полную массу-энергию фиксированными (вклад от неприводимой массы и от заряда), отождествим коэффициент Qh в уравнении
8М = QhSS
с угловой скоростью дыры:
(33.62)
а. Покажите, что угловая скорость черной дыры равна
(33.63)
§ 33.8. Обратимые и необратимые превращения 125
2
Заметим, что она в точности совпадает с угловой скоростью фотонов которые все время находятся на горизонте [уравнение (33.426); «закручивание» нулевых генераторов горизонта].
б. Покажите, что любой объект, падающий на черную дыру, приобретает на поздних стадиях падения, когда он достигает горизонта, угловую скорость (относительно системы координат Бойера — Линдквиста) Q = йф/dt = Qfl. (Напомним, что на горизонте координаты Бойера — Линдквиста обладают сингулярностью. Это и является причиной, по которой любой объект независимо от его L-, Е, е, [і, $ может достигать и действительно достигает одного и того же значения Q = Q/,.)
33.14. Разделение переменных в волновых уравнениях
В этой главе всесторонне изучалось движение малых объектов во внешних полях черных дыр. Почти столь же важен, хотя и не так хорошо изучен из-за своей сложности, вопрос об эволюции слабых электромагнитных и гравитационных возмущений («волн») в геометрии Керра — Ньюмана. Точно так же, как не было оснований ожидать существования «четвертого интеграла движения» для пробной частицы в геометрии Керра — Ньюмана, нет оснований ожидать разделения переменных в уравнениях Максвелла или в волновых уравнениях, описывающих гравитационные возмущения, или даже в скалярном волновом уравнении ? г); = —г]) •“ = 0. Поэтому явилось большим сюрпризом то, что Картер [161] доказал возможность разделения переменных в скалярном волновом уравнении, а позднее Теукольский [171, 172] провел разделение переменных в уравнениях Максвелла и в волновых уравнениях, описывающих гравитационные возмущения.
Покажите, что, разделение переменных в скалярном волновом уравнении в случае (незаряженной) геометрии Керра приводит к решениям следующего вида:
= (rz-\- а2)~1>ги^т(г) Sm^ ( — та, cosG) еі(-тф~ш'>, (33.64а)
где ти/ — целые числа, причем 0 ^ | т I /, Sm^ — сферическая гармоника [173], а иудовлетворяет дифференциальному уравнению
—(Pu/dr*2 + Vu = 0. (33.646)
Чтобы привести уравнение к такому виду, определим «черепашью» координату Редже — Уилера [125] г* соотношением
dr* = A*1 (г2 + a2) dr (33.64в)
и найдем эффективный потенциал V (г*), который дается выражением
у = _ (co__^_)2-j- ^m-(йа)2 + g] (Г2+ а2)-гд +
+ 2 (Mr — а2) (г2-)- а2)-3А + За2 (г2 + а2)-4 А2. (33.64г)
УПРАЖНЕНИЯ
2
126 33. Черные дыры
упражнения В этом радиальном уравнении (? — константа (аналогичная картеровской константе для движения частицы), которая выражается через т \\-С\
/собственное значение \ g = Xm р — m2, Xm р = I сферической гармоники, I. (33.64д)
Vcm. [173] /
(Детальное решение с разделением переменных было получено Бриллом и др. [174]. Исследование взаимодействия между различными полями и керровскими черными дырами с помощью приведенного выше решения, а также аналогичных решений для электромагнитных и гравитационных волновых уравнений приводится в работах [128, 141, 159, 171, 175, 176].)
Дополнение 33.5. ОРБИТЫ ПРОБНЫХ ЧАСТИЦ В «ЭКВАТОРИАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ» ЧЕРНОЙ ДЫРЫ КЕРРА — НЬЮМАНА
Радиальное движение задается уравнением для энергии (33.54), в котором 0 =
= рв = 0:
a?2-2p? + 7o-r4(pr)2 = °> Е = Р +1^p2-aJ0+аг*{рГ)2 ¦ (1)
здесь а, (3, Y0 — функции г и интегралов движения,
а = (г2 -f- a2)2— Aa2 > 0, (2а)
^ = (Lza + eQr)(r2 + az)—LzaA, (26)
Vo= (L^a+ eQr)2 — ALl- \i2r2A\ (2в)
радиальный импульс
Pr = dr/dX. (3)
Таким образом, уравнение (1) представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение для dridX.
Качественные особенности радиального движения можно видеть на схеме распределения эффективного потенциала. Эффективный потенциал V (г) есть минимальное допустимое значение E на радиусе г: V (г)=- (0 + YP2 — ay0)/a.
Как и в шварцшильдовском случае (фиг. 25.2), для частицы с энергией на бесконечности E допустимыми являются те области, где У(г) Е, а точки поворота (pr = drldX = 0) возникают там, где V(r) = Е.
Устойчивые круговые орбиты находятся в минимумах V (г). Исследуя детально V (г), находим, что в случае незаряженных черных дыр самая внутренняя устойчивая круговая орбита (наиболее сильно связанная орбита) обладает характеристиками, приведенными в таблице [115].
