Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
^понт, обратно = ^конт.+мусор, падение ^"выброш. мусор ^конт.-f мусор, падение. Контейнер отдает свою огромную кинетическую энергию гигантскому маховику, маховик вращает генератор, последний вырабатывает электричество для города, в то время как контейнер возвращается на свалку за очередным грузом мусора. Полная электрическая энергия, производимая за каждый рейс контейнера туда и обратно, равна
(энергия за рей() = ?КОВТі обратно— (масса покоя контейнера) =
= (Яконт.+мусор, падение-^выброш. мусор)-(масса покоя контейнера) =
= (масса покоя контейнера -)- масса покоя мусора—ДМ) — (масса покоя контейнера) = (масса покоя мусора)+
+ (величина, на которую уменьшилась масса дыры, —AM).
Таким образом, жители этого города могут использовать черную дыру не только для превращения всей массы покоя городского мусора в кинетическую энергию контейнера, а затем в электроэнергию, но они могут также превращать п электроэнергию часть массы самой черной дыры!
2
120 33. Черные дыры
«Эффективная эргосфера» для процессов с участием заряженных частиц
УПРАЖНЕНИЕ
В случае заряженного объекта электромагнитные силы изменяют область, в которой существуют орбиты с отрицательной энергией на бесконечности. Если заряды объекта и черной дыры имеют противоположные знаки, то электромагнитные силы притягивают объект, придавая ему тем самым вблизи черной дыры большую кинетическую энергию, чем можно ожидать в отсутствие этих сил. Следовательно, —р* |<г> становится больше Е:
E= — (р — еАИ(і)= -р-Іф + еОг/р2, (33.53)
— меньше 0, если eQ<0
и орбиты с E < 0 существуют в области несколько большей, чем эргосфера. Если же, наоборот, е и Q имеют один и тот же знак, то орбиты с E <l 0 ограничены областью меньшей, чем эргосфера. Область, в которой существуют орбиты с E < 0 для заданных значений е, Q и массы покоя называется эффективной эргосферой.
33.10. Вектор момента импульса падающей частицы
Выведите уравнения (33.49г) — (33.49е) для компонент Lx и Lv орбитального момента импульса частицы, падающей на черную дыру. Примите, что начальная скорость пренебрежимо мала, E2 - JX2 ж 0.
§ 33.8. ОБРАТИМЫЕ И НЕОБРАТИМЫЕ ПРЕВРАЩЕНИЯ [154, 155J
Возьмем черную дыру с заданными массой М, зарядом Q и моментом импульса S. Инжектируя малые объекты, будем вызывать различные изменения величин М, Q и 5. Можно ли, задавшись произвольными изменениями AM, Д@ и AS, придумать процесс, при котором эти изменения достигаются? Или же имеются какие-то ограничения?
Второй закон динамики черных дыр (невозможность уменьшения площади поверхности черной дыры, дополнение 33.4; доказательство в § 34.5) налагает весьма жесткое ограничение.
Могут ли достигаться на самом деле все те значения, которыз допустимы согласно этому ограничению, и можно ли получить это ограничение путем непосредственного изучения орбит пробных частиц?
Ответ является утвердительным; действительно, это ограничение было обнаружено Кристодулу [154] и Кристодулу и Руфи-
§ 33.8. Обратимые и необратимые превращения 121
2
ни [155] при изучении орбит пробных частиц одновременно с открытием Хоукингом [103] второго закона динамики черных дыр и независимо от него.
Чтобы, исходя из свойств орбит пробных частиц, получить ограничение, связанное с невозможностью уменьшения площади поверхности черной дыры, необходимо выяснить, какие значения энергии на бесконечности E допустимы при заданном положении (г, 0) вне черной дыры. Объединяя уравнения (33.32а) и (33.326), можно выразить величину E через положение пробной частицы (г, 0), ее массу покоя [і, заряд е, аксиальную составляющую момента импульса Lz и импульсы частицы pr = dr/dk, рв = = dQ/dk в направлениях г и 0:
а?2-2р? + 7 = 0, ? = (33.54a)
где
а = (г2-fa2)2—Aa2sin20>0 всюду вне горизонта, (33.546) р = (Lza + eQr) (г2 + a2) - LzaА, (33.54в)
у = (Lza +¦ eQr)2— A (Lz/sin0)2— [X2Ap2 — р4 [(pr)2-j- А Q?9)2]. (33.54г)
(Квадратный корень нужно взять с положительным знаком: + Y P2 — a у, он соответствует 4-импульсу, направленному в будущее, в то время как корень с отрицательным знаком соответствует 4-импульсу, направленному в прошлое, см. фиг. 33.3.)
Следует отметить несколько характерных черт уравнения для энергии (33.54). 1. Для орбит в экваториальной «плоскости» 0 = = л/2 и P9 = O уравнение энергии дает эффективный потенциал радиального движения (дополнение 33.5). 2. Для орбит с отрицательными E должно быть P <С 0 и у > 0, что достигается только при L1O. <0 и (или) eQ <0. Следовательно, массу черной дыры нельзя уменьшить, не уменьшив при этом ее заряд или момент импульса или и то и другое вместе. 3. Для орбиты с заданными (г, 0) и с заданными е и Lz энергия E минимальна, если рг = р9 = = [і = 0. Другими словами, масса покоя и г- и 0-составляющие импульса всегда дают положительный вклад в Е.
Инжектируя некоторый объект в черную дыру, создадим небольшие изменения ее массы, заряда и момента импульса
Ш = E, б Q = е, б S = Lz.
В каком диапазоне может меняться M при заданных Q ъ SI Ясно, что бM может быть сделано сколь угодно большим, если массу покоя |Д, взять достаточно большой. Ho существует нижний предел значений величины SM. Этот предел соответствует минимальному значению E для заданных е и Lz. Орбита, на которой достигается минимум величины Е, пересекает горизонт (в противном случае никаких изменений М, Q и S не происходило бы!), так что E может быть определено на горизонте. На горизонте, так же как
