Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Пенроуз [84, 184] развил мощный аппарат математических методов для исследования асимптотических свойств пространства-
Литература по глобальным методам
Обоснование необходимости изучения свойств пространст ва-времени вблизи бесконечности
9—018
130 34. Глобальные методы, горизонты и сингулярности
ФИГ. 34.1.
Измерение массы-энергии, излученной в виде гравитационных и электромагнитных волн при взрыве сверхновой; измерение проводится в асимптотически плоском пространстве-времени. Излученная масса-энергия равна разности масс предсверхновой звезды МЛ0 и нейтронной звезды и туманности после взрыва М„осле:
¦^из луч = Mro Л^после*
Чтобы измерить Л/д0, можно исследовать асимптотическую форму (в подходящих координатах) компоненты g0Q на пространственной бесконечности:
goo=—1+Д°+О (~г) при г—> оо, t = Const.
Ho чтобы измерить Л/после тем же способом, необходимо подождать на некотором фиксированном г до тех пор, пока все излучение не пройдет мимо этой точки:
goo=—1 + -2Л/”9— +0 (тг) при г—>ооп<-г =
(постоянная величина, достаточно^ большая, чтобы оказаться внутри а волнового всплеска I
Иначе говоря, чтобы измерить Мпосле, необходимо исследовать асимптотическую форму g00 не на «пространственной бесконечности», а на «нулевой бесконечности будущего».
§ 34.2. «Бесконечность» в асимпт. плоских простр.-временах 131
ФИГ. 34.2.
Плоское пространство-время «Минковского», изображенное: а — в обычных сферических координатах t, г, 0, <р глобальной лоренцевой системы и 6 — в сферических координатах, определяемых уравнениями (34.2). На каждом рисунке показано пять областей бесконечности I+, I~, I0, J+, J В обеих системах координат радиальные нулевые линии составляют с вертикальной осью угол 45°, а нерадиальные нулевые линии — угол меньше 45° [см. уравнения (34.1) и (34.2)]. Подробности см. в упражнении 34.1.
времени вблизи «бесконечности». Ключом к его методам является понятие «конформного преобразования» пространства-времени, которое переносит «бесконечность» на конечный радиус и тем самым превращает «асимптотические» вычисления в вычисления для «конечных точек». Метод Пенроуза дает также строгие определения нескольких типов «бесконечности», с которыми мы сталкиваемся в асимптотических плоских пространствах-временах.
Детали метода Пенроуза не существенны для понимания этой главы. Тем не менее в этой главе нам часто придется обращаться к различным типам «бесконечности», определение которых было дано Пенроузом. На интуитивном уровне эти определения таковы (фиг. 34.2, а):
I+ = «временная бесконечность будущего»: область t -> +°° при конечном радиусе г (область, куда распространяются вре-мениподобные линии);
I- == «временная бесконечность прошлого»: область t -*—оо при конечном радиусе г (область, откуда приходят времени-подобные линии);
7° = «пространственная бесконечность»: область г —*- оо при конечном времени t (область, куда простираются пространственноподобные сечения);
Cf += «нулевая бесконечность будущего»: область t + г —»- оо при конечном t — г (область, куда распространяются направленные наружу нулевые линии);
Характерные области бесконечности /+, /о. I- j+t д-
і Ih
ІННІ
а
б
2
132
34. Глобальные методы, горизонты и сингулярности
Координатные
диаграммы,
на которых
проявляется
структура
бесконечности
ф
¦
г = 0 сингулярность
г = 0 сингулярность
ФИГ. 34.3.
Шварцшильдовское пространство-время, изображенное в координатах -ф, ?, 0, ф уравнений (34.3). Эту координатную диаграмму следует сравнить с координатной диаграммой Крускила — Шекереса (фиг. 31.3). На обеих диаграммах нулевые радиальные геодезические имеют наклон 45°. Каждая асимптотически плоская область (по одной с каждой стороны от «горловины» фиг. 31.5, а) обладает своим набором бесконечностей /+, I0, J+ и J~.
Обоснование этой диаграммы см. в упражнении 34.2.
J-== «нулевая бесконечность прошлого»: область t — г —> оо
при конечном t + г (область, откуда приходят направленные внутрь нулевые линии).
Часто для наглядного представления асимптотической структуры пространства-времени полезно ввести такие координаты, в которых бесконечность имела бы конечное значение координаты. Например, в плоском пространстве-времени можно провести преобразование от обычных сферических координат t, г, 0, ф, для которых
ds2 = -Cfta + dr2 + г2 (сШ2 + Sin2 0 #2), (34.1)
к новым сферическим координатам т]з, ?, 0, ф\ при этом
i + /- = tgi-(o}i + |), (34.2а)
t — r = tg|-(^ — I), (34.26)
ds2 -------- ---——' ds-------1- r2 (dQ2 -(- sin2 0 гіф2). (34.2в)
4 cos2 (ip + І) cos2 Tj- (ф — Е)
В координатах і]з, ? (фиг. 34.2, б) области /+, І~, 7°, J+, J- изображаются более наглядно, чем в обычных координатах (иг.
В качестве другого примера произведем замену координат Крускала — Шекереса и, и, 0. А для пространства-времени Шварцшильда на новые координаты т|з, ?, 0, ф:
v + u = tgj (г|? + ?), (34.3а)
V — и = tg (т]з — I), (34.36)
§ 34.2. «Бесконечность» в асимпт. плоских простр.-временах 133
