Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
(33.30)
§ 33.5. Уравнения движения для пробных частиц Ю9
Есть полный смысл использовать весь этот формализм вместо того, чтобы прямо решать уравнение с силой Лоренца в его наиболее элементарном координатном варианте
Cp1Xa тча dx'1 „а dx$
dP"+ ^ЖЖ = РЛГ'
С помощью гамильтонова формализма можно сразу же найти два интеграла движения; элементарное уравнение с силой Лоренца такой возможности не дает. Дело в том, что компоненты A вектора А [выражение (33.30)] и компоненты метрики g^v [обратные g^v, которые даются в (33.2); см. (33.35)] не зависят от t и ф (стационарность и аксиальная симметрия как электромагнитного поля, так и геометрии пространства-времени). Следовательно, расширенный гамильтониан также не зависит от і и ф, и поэтому уравнение Гамильтона
dna/dk = — 5 сWldxa
гарантирует, что я* и Яф являются интегралами движения.
Вдали от черной дыры, где вектор-потенциал исчезающе мал, а метрика принимает вид
ds2 = — dt2 + dr2 + г2 (dQ2 -f- sin2 Qdф2), интегралы движения становятся равными
я t = Pt = — Pt = — энергия,
г /проекция момента импульса\ :Рф=гР =
\на ось вращения дыры /
Поэтому для интегралов движения —я{ и яф уместно принять следующие названия и обозначения:
E = («энергия на бесконечности») = — nt = — (pt -f- eAt), (33.31а) /«аксиальная компонента момента импульса»,'
2 — \или просто «момент импульса»
= яФ = рф + еАф. (33.316)
Третьим интегралом движения является масса покоя частицы
H = IpI = (—SafiPaPflYl2- (ЗЗ.ЗІв)
В общем случае для однозначного определения орбиты частицы в четырехмерном пространстве-времени необходимо знать четыре интеграла движения. Если бы черная дыра обладала дополнительной симметрией, например если бы она была сферически симметричной, а не просто аксиально симметричной, то тогда автоматически появился бы четвертый интеграл движения. Ho в общем случае черные дыры не являются сферически симметричными.
«Интегралы движения» заряженной пробной частицы, движущейся вокруг заряженной черной дыры:
1) «энергия ш бесконечности
2) «аксиальна/ компонента момента импульса» Lz
3) масса покоя (Д.
г
&
івнения жения для яженных бных частиц
HO 33. Черные дыры
поэтому движение пробной частицы вокруг черной дыры обладает лишь тремя очевидными интегралами движения. Весьма замечательно поэтому то обстоятельство, что, как оказалось, существует и четвертый интеграл. Это обнаружил Картер [111], который использовал методы Гамильтона — Якоби. К 1973 г. никто еще не дал убедительного геометрического объяснения, почему четвертый интеграл должен существовать, хотя намеки на такое объяснение можно найти в работах [157, 161].
Картеровский «четвертый интеграл движения», вывод которого приведен в упражнении 33.7, дается выражением
й — Рв Ч- COS2 0 [GE2 ()И2— Zi2) -}- sin_20Z/l]. (33.31г)
Вместо й часто используется интеграл движения
= & + (Lz — аЕ)2, (ЗЗ.ЗІд)
получаемый как комбинация & , Lz и Е. В то время как (? может быть отрицательно, SK всегда положительно:
SR = р\\-j- (Lz — аЕ sin2 0)2/sin2 0 + a2(i2 cos2 0 >0 всюду,
= 0 только в случае фотона (^i = 0), движущегося вдоль полярной оси (0 = 0, я).
Комбинируя уравнения (33.31) с метрическими коэффициентами
(33.2) и с компонентами векторного потенциала (33.30), легко выразить контравариантные компоненты 4-импульса пробной частицы ра = dxaldk через константы Е. Lz, р,, fi . В результате получаем
p2dQ/dk = УЪ, (33.32а)
p2drldk = У R, (33.326)
р2d<t>/dk = -(аЕ — LJsin20) + (а/A) P, (33.32в)
р^dtldh- —a (IiZfsm2O — Lz)-\-(г2а2) А~1Р. (33.32г)
Здесь р2 = г2 + а2 cos20, согласно определению в (33.36), а функции 0, R, P определяются следующим образом:
0 = а ~ cos2 0 [a\(\i2 - E2) + LU sin2 0], (33.33а)
P = E(r2-\-a2)-Lza — eQr, (33.336)
R = P2-A [ц2г2 + (Lz - аЕ)2 + . (ЗЗ.ЗЗв)
При работе с координатами Керра (чтобы избежать координатной сингулярности на горизонте), уравнения (33.32в) и (33.32г) нужно заменить уравнениями
P2 dV Idk =—а (аЕ sin2 0 - Lz) + (г2 + а2) Д~:1 (У R+ P), (33.32в')
(Pdfldk= -(аЕ—Lz/sm2e) + aA-l(VR + P). (33.32т')
33.5. Уравнения движения для пробных частиц І.ІІ
2
[Эти уравнения следуют из (33.32) и из преобразования между двумя координатными системами — см. уравнение (4) в дополнении 33.2.] Ё приведенных выше уравнениях знаки перед Y R и могут быть выбраны независимо, но, выбрав однажды эти знаки, мы должны использовать их повсюду согласованно.
Различные применения этих уравнений движения будут играть главную роль в остальной части этой главы.
33.6. Расширенный гамильтониан для движения заряженной упражнени
Покажите, что уравнения Гамильтона (33.28а) для гамильтониана (33.286) сводятся к уравнению (33.29а) для обобщенного импульса и к уравнению с силой Лоренца (33.296). [Указание. Используйте соотношение (g°%ev)’H = О.]
33.7. Вывод уравнений движения Гамильтона — Якоби [111]
Выведите уравнения движения первого порядка (33.32) для заряженной частицы, движущейся во внешнем поле черной дыры Керра — Ньюмана. Воспользуйтесь методом Гамильтона— Якоби (дополнения 25.3 и 25.4 в томе 2 этой книги; см. также гл. 9 книги Голдстейна [160]) в такой последовательности:
