Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
а. Везде в расширенном гамильтониане SS уравнения (33.286) замените обобщенный импульс зха на градиент функции Гамильтона — Якоби dtSldxa.
б. Выпишите уравнения Гамильтона — Якоби [обобщение уравнения (2) в дополнении 25.4] в следующей форме:
в. Покажите, что метрические компоненты для черной дыры Керра — Ньюмана в координатах Бойера — Линдквиста даются выражением
г. Воспользуйтесь метрическими компонентами и компонентами векторного потенциала (33.30), чтобы привести уравнение Гамильтона — Якоби (33.34а) к такому конкретному виду:
частицы
dS_
дк
_J_— A ( dS V \ I I /W \2
I 2 P2 \ dr I I" 2 р2 \ dQ ) •
(33.346)
2
112 33. Черные дыры
ПРАЖНБНИЯ
іавньїе
тлевые
¦нгруэнции
гя геометрии
тстранства-
іеменп
рной дыры
д. Решите это уравнение Гамильтона — Якоби методом разделения переменных. [Указание. Поскольку в уравнении нет явной зависимости от X, ф или t, решение можно искать в виде
S = jn*A — Et + Ьгф + Sr (г) + Se (0). (33.36а)
Здесь значения «постоянных интегрирования» получаются из соотношений OSIdX = — SB, dS/dt = я*, dS/dф = я<р. Подставив этот выбранный вид решения в (33.35) и разрешив уравнение относительно Sr (г) и Se (0), получите
sr = j д-1 Yr dr, S0 = J у в de, (зз.збб)
где R (г) и 0 (0) — функции, определенные в (33.33). Заметим, что константа (§ возникает при таком методе естественным образом как «константа разделения переменных». Константа (2 была обнаружена Картером именно этим способом, следуя предложению Мизнера искать аналогии с константой интегрирования в случае ньютоновских дипольных полей (см. [162], стр. 209).]
е. Последовательно приравнивая dS/d [(2 + (Lz — аЕ)2], dSld\jL2, dS/dE и dS/dLz нулю, получите следующие уравнения, описывающие орбиты пробных частиц:
І W= J Yf' (33'37а)
(33 376)
i= j -а(аЕ ^Q-Lz) dQ+ J dr, (33.37в)
ф= Г — (аЕ sin2 8 —- Lz) Г dr. (33.37г)
т J sin20V^0 J дYr 4 '
ж. Дифференцируя и комбинируя эти уравнения, получите уравнения движения (33.32), приведенные в тексте.
з. Выведите выражения (33.31) для E, Lz, ц и Й, полагая OSIdxa — п а = Pa + еАа-
§ 33.6. ГЛАВНЫЕ НУЛЕВЫЕ КОНГРУЭНЦИИ
Два специальных семейства фотонних траекторий особенно гармонично «вписываются» в геометрию Керра — Ньюмана. Эти семейства называются главными нулевыми конгруэнциями данной геометрии (слово «конгруэнция» означает «семейство кривых, заполняющих пространство»). Эти конгруэнции являются реше-
§ 33.6. Главные нулевые конгруэнции ЦЗ
2
ниями уравнений движения для пробных частиц (33.32), для которых
Ji = O (нулевая масса покоя; фотон), (33.38а)
е = 0 (нулевой заряд фотона), (33.386)
(значение Lz, которое является\
допустимым, только если I , (33.38в)
dQ/dX равно нулю /
$ =—(Lz— аЕ)2 =—а2Е2 cos40. (33.38г)
Для этих значений интегралов движения уравнения движения (33.32) принимают вид
№==d$ldX = 0, (33.39а)
kr = drjdX= ± E (4-для выходящих фотонов, (33.396)
— для фотонов, движущихся внутрь),
k* = d<f>/dX = аЕ/Д, (33.39в)
к1 = dt/dX = (г2 + a2) El А. (33.39г)
В каком смысле ЭТИ фотонные траектории более интересны, чем Значение
другие? 1. Они так вписываются в кривизну пространства-времени, конгруэнций™01*1*
что если Ca6vб есть конформный тензор Вейля, а *Са&уе =
= Bctf5tivClivv6 — дуальный ему тензор, то
Сару[6ке]ШУ = 0, *CaPv[6A-?]№ = 0. (33.40)
(Эти соотношения означают, что геометрия Керра — Ньюмана относится к «типу D по Петрову — Пирани», а эти фотонные траектории являются «дважды вырожденными главными нулевыми конгруэнциями». Подробности, касающиеся значения этих выражений и их применений, см., например, в [25], § 8, или [163], или в работах Петрова [164, 165] и Пирани [166].) 2. Подходящей заменой координат (упражнение 33.8) метрику Керра — Ньюмана можно привести к виду
ds2 = (т}аВ + 2Нкаке) dxa dx$, (33.41)
где H — скалярное поле, а ка — компоненты волнового вектора для одной из главных нулевых конгруэнций (любой из двух, HO не двух сразу!). (Именно благодаря этому свойству метрики Керра — Ньюмана она и была первоначально открыта [99]. Более детально метрики такой формы рассмотрены в работе 1167].) 3.
В координатах Керра (дополнение 33.2) главная нулевая конгруэнция, направленная внутрь, есть
г=—EX, 0 = const, ^ = const, F = Const. (33.42а)
t
|_Гпроизвольный нормировочный множитель; от него L можно избавиться, если переопределить X
8-018
2
114 33. Черные дыры
На диаграмме Керра в дополнении 33.2 эти мировые линии фотонов, направленные внутрь, являются генераторами конической поверхности V = const. 4. Фотон, мировая линия которого принадлежит главной нулевой конгруэнции, направленной наружу, и только такой фотон может вечно оставаться на горизонте (упражнение 33.9). Такие мировые линии фотонов являются «генераторами» горизонта (штриховые спиральные кривые на диаграмме Керра в дополнении 33.2). Их угловая скорость
Q = = »*¦ ,у =--------------- -----------гT- (33.426)
dt dv П -гa’ 2M2 — QZJr2M (M2~a2 — Q'1) 12 '
