Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
І мы видим, что диапазон допустимых угловых скоростей еще Wiie смещается в положительную сторону (еще более сильное Течение систем отсчета»). В то же время мы видим, что этот
Увлечение систем отсчета, предел статичности и эргосфера
2
104 33. Черные дыры
УПРАЖНЕНИЯ
диапазон становится все уже, пока на горизонте
г = r+ = M+ У M2-Qi-а2 (33.1
предельные значения Qmhh И Ймакс , в конце концов, не солыотс приняв одно и то же значение (со = gttlg<t><p)- Следовательно, горизонте не может быть стационарных наблюдателей. Все Bj мениподобные мировые линии направлены внутрь. «Притя;г ния» со стороны черной дыры невозможно избежать.
Дополнительные особенности стационарных наблюдателен «увлечения систем отсчета» исследуются в упражнениях.
33.1. Керровское описание векторов Киллинга
а. Используйте закон преобразования от координат Бойера Линдквиста к координатам Керра [уравнение (4) дополнения 38 и покажите, что
Iw ^ (dtdt)T, є, ф = (dldV)T, е, ~, (33..
Si*, s (д/дф)і. г. е = (д/дф) 7t Гі е. (33.1
Исследуя метрические компоненты, покажите в (явном виде, ’ Syy = Stti Sy~§'ф'ф=8фф (33.1
в соответствии с уравнениями (33.19а) и (33.196).
б. Покажите, что выраженная в керровских коордишт угловая скорость стационарного наблюдателя (мировая лил на которой г, 0 — константы) имеет вид
Q == d^/dt = d<p/dV =иф /Uv,
так что рассмотрение стационарных наблюдателей в коорді'
тах Керра полностью идентично рассмотрению в коордил
Бойера — Линдквиста. Различие между этими системами кс дииат проявляется лишь в том случае, когда мы рассматрнв движение вдоль мировой линии с переменным г. Согласуйте утверждение с тем фактом, что в обеих системах координат непі зуются одни и те же координаты (г, 0), но различные времен и азимутальные координаты (t, ф вместо V, ф).
33.2. Наблюдения угловой скорости
Наблюдатель, расположенный далеко от черной дыры и наN щийся в состоянии покоя относительно асимптотической .10 цевой системы отсчета дыры, видит (своими глазами), как ч.к движется по стационарной (негеодезической) орбите вблизи ной дыры. Пусть Q = dф/dt есть угловая скорость, как это t определено и как обсуждалось выше. Удаленный наблюда использует свой секундомер для того, чтобы измерить время
§ 33.4. Симметрии и увлечение систем отсчета Ю5
2
обходимое частице для одного полного оборота вокруг черной дыры (один полный оборот относительно самого удаленного наблюдателя, т. е. относительно асимптотической лоренцевой системы отсчета дыры).
а. Покажите, что измеренное таким образом время оборота равно 2я/Q. Следовательно, можно считать, что Q есть «угловая скорость частицы, измеренная с бесконечности'».
б. Пусть наблюдатель, движущийся вместе с частицей, измеряет время своего оборота относительно асимптотической лоренцевой системы отсчета, используя лишь свои собственные глаза и секундомер, который он взял с собой. Покажите, что измеренное им время одного оборота должно быть равно
At = Щ. {-gtt-2Qgt,(33.20)
T
¦—[«фактор красного смещения»
33.3. Локально невращающиеся наблюдатели [158]
а. Окружим черную дыру круглым («кольцевым») зеркалом, поместив его при фиксированных (г, 0). Пусть наблюдатель, расположенный при тех же (г, 0) и движущийся с угловой скоростью Q, испускает вспышку света. Часть фотонов будет захвачена зеркалом и будет скользить вдоль его поверхности, двигаясь вокруг черной дыры в положительном по ф направлении. Другая часть фотонов также будет захвачена и будет скользить в отрицательном по ф направлении. Покажите, что наблюдатель примет вернувшиеся к нему фотоны в обоих направлениях одновременно в том и только в том случае, если его угловая скорость Q = ш (г, 0) определяется выражением (33.16). Следовательно, в этом и только в этом случае наблюдатель может считать направления -\-ф и
— ф эквивалентными с точки зрения локальной геометрии. Другими словами, в этом и только в этом случае наблюдатель является «невращающимся относительно локальной геометрии пространства-времени». Поэтому для наблюдателя, который движется с угловой скоростью Q = со (г, 0), весьма подходит название локально невращающийся наблюдатель.
б. С аксиальной симметрией связана величина рФ = р •!(<?), сохраняющаяся при геодезическом движении. Для любой частицы, движется ли она по геодезической или нет, эта величина называется «проекцией момента импульса на ось вращения черной дыры» или просто «моментом импульса частицы» (см. ниже § 33.5). Покажите, что из всех наблюдателей с фиксированными (г, 0) только локально невращающийся наблюдатель имеет момент импульса, равный нулю. (Примечание. Бардин, Прессе и Теуколь-ский [159] показали, что понятие «локально невращающегося наблюдателя» может служить мощным инструментом для исследования физических процессов вблизи черной дыры.)
УПРАЖНЕНИ
2
106 33. Черные дыры
ПРАЖНЕНИЯ
33.4. Ортогональные системы отсчета, связанные с локально невращающимися наблюдателями
а. Представим себе, что пространство-время заполнено мировыми линиями локально невращающихся наблюдателей и с каждым из этих наблюдателей связана собственная ортогональная система отсчета. Покажите, что пространственные ориентации этих систем отсчета могут быть выбраны так, что их базисные 1-формы будут иметь вид
