Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
§ 34.4. Глобальная структура горизонтов 141
2
а. Если бы tS1 U $2 содержало времениподобный сегмент, то, слегка деформировав 'ёх U f^r21), можно было бы получить гладкую кривую ї?3, соединяющую і/5 и Si, которая повсюду времениподобна 2), а это противоречит предположению, что -T1 4 ,'Я.
б. Если бы P1U ^2 содержало негеодезический нулевой сегмент Ї?, простирающийся от события до события .??, то протяженность кривой Ч§, если
ее сравнить с соседними кривыми, не обладала бы свойством экстремальности. Это означает, что некоторые кривые, соединяющие Jk и .$?, имели бы квадрат протяженности больше, чем у т. е. они являлись бы пространственноподобными, в то время как другие кривые имели бы квадрат протяженности меньший, чем у %, т. е. являлись бы времениподобными. Таким образом, слегка изменив %, мы получим времениподобный сегмент от Jh до Тогда последующая деформация описанная выше, привела
бы к гладкой времениподобной кривой от 9і до Ж, что находилось бы в противоречии с тем, что # Л. Таким образом, предположение является неправильным, т. е. и должны быть нулевыми геодезическими.
1) Любую кривую в любом пространственно-временном многообразии всегда можно немного сместить в произвольном направлении так, чтобы не наткнуться на сингулярность или на какую-нибудь другую границу многообразия. Это возможно, поскольку по определению многообразие является открытым. Физически пространство-время является открытым, поскольку каждому событию в пространстве-временн принадлежит своя локально лоренцева окрестность, которая также принадлежит пространству-времени.
2) В справедливости этого, а также других подобных утверждений, которые встретятся
в дальнейшем при доказательстве, можно убедиться, используя понятие локально лоренцевых систем отсчета. В литературе но глобальной геометрии утверждения, подобные этому, чаще всего приводятся без доказательства, хотя всегда можно провести такое доказательство, если какой-то скептик этого потребует. К сожалению, обоснование таких утверждений с помощью строгих
доказательств невероятно удлинило бы и усложнило обсуждение, затемняя тем самым простоту
основ IIbIX идей.
C l I Времениподобный 1 сегмент
Il
2
142 34. Глобальные методы, горизонты и сингулярности
2. Предположим, что векторы, касательные к cS1 и S?s, не совпадают в точке стыковки этих кривых (Ц. Тогда мы могли бы «срезать угол» в 6, получив тем самым в этом месте времениподобный сегмент. Затем можно было бы, изменив tSi U tS2, как это делалось выше, получить гладкую времениподобную кривую от SP до M и прийти к противоречию C тем, ЧТО SP^S- Таким
образом, и это предположение является неправильным, т.е. касательные векторы совпадают друг с другом в (?. Что и требовалось доказать.
Б. Лемма. Если Jt ?(J+) и .3?g/“(J+), то Jt<^$.
Доказательство. Допустим, что Jt J?,
1. Тогда между Л и $ существует времениподобная кривая.
2. Малая деформация этой кривой, при которой кривая все еще остается времени-подобной, приведет к тому, что кривая будет связывать событие $ в некоторой достаточно малой окрестности jfT [J1 с произвольным событием M в некоторой малой Л‘ [.#*].
3. Выберем J?, лежащее в /'(J+). Затем соединим времениподобную кривую,
простирающуюся от Ci до М, с причинной кривой, простирающейся от Si до J+. Результирующая кривая, если ее сгладить в точке стыковки, становится причинной кривой, простирающейся от произвольного [Jt\ до J+.
4. Существование таких кривых подразумевает, что Jl' [Ji ] сг (J+), следовательно, Jt QJ (J+), что противоречит первоначальному предположению. Вывод: Jt .$?. Что и требовалось доказать.
Временило;
В. Лемма. Пусть tS(X) — причинная кривая, пересекающая /"(J+) в некотором событии 98. Тогда, если проследить за % (X) от .?5 в прошлое, то она
всегда лежит в (J+) U J~ (J+)-
§ 34.4. Глобальная структура горизонтов 143
2
Доказательство.
1. Выберем произвольное событие Л на ^ (К) так, чтобы Ji^SS.
2. Построим произвольную малую окрестность JT [<h\.
3. Малая деформация кривой Чо между Jb и приводит к времениподобной
кривой 3), которая проходит от события до J?.
4. Поскольку ?J~ (J+), то в результате малой деформации 3), оставляющей
ее все еще времениподобной, получается кривая %, проходящая от сЭ5 до некоторого события (J+)- После этого % может быть продолжена, оставаясь
при этом причинной, вплоть до J+. В результате получается причинная кривая от Sf1 до J+. Следовательно, аР ?J~ (J+).
5. IIo находилась в произвольной малой окрестности иУ [А], следовательно, А должно также находиться в (J+) или же на границе этой области,
т.е. на J^(J+). Что и требовалось доказать.
Г. Теорема [180]. J-(J+) образуется нулевыми геодезическими, которые в будущем не имеют концевых точек (см. § 34.4, где дана более детальная формулировка теоремы).
Доказательство.
1. Выберем произвольное событие & в J- (J+). Докажем, что через SP проходит
нулевая геодезическая, направленная в будущее и лежащая в j~ (J+)-, доказательство проводится следующим образом:
