Гравитация Том 3 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Как при том, так и при другом допущении (не существует голых сингулярностей или горизонт никогда не наталкивается на сингулярность) мы приходим к выводу, что
dJjjI2IdKic неотрицательно всюду вдоль пучка К. (34.8)
Этот результат показывает, что если мы движемся вдоль J~ (J) от прошлого к будущему, то площадь поперечного сечения каждого пучка Лк никогда не может уменьшаться. Поскольку могут возникать новые пучки, но старые никогда не могут уничтожаться, если двигаться от прошлого к будущему, то полная площадь поперечного сечения J- (J +) не может уменьшаться в будущем. Равным образом (фиг. 34.8), если и — пространственноподобные гиперповерхности, причем всюду расположена в будущем относительно OJc1, то площадь поперечного сечения /- (J+) в пересечении с ef 2, Jt (of,), не может быть меньше, чем площадь поперечного сечения в пересечении с ^f1, Jb (Oip1). Таким образом, второй закон динамики черных дыр, сформулированный на языке более точном, чем в гл. 33, окончательно доказан.
34.4. Черная дыра никогда не может раздваиваться [104]
Приведите убедительные доводы в пользу следующей теоремы: независимо от того, как сильно воздействовать на черную дыру, и независимо от того, чем на нее воздействовать, мы никогда не сможем заставить одну черную дыру раздвоиться, чтобы получились две черные дыры. [Указание. Покажите на графиках, что в любой точке, где происходит раздваивание, некоторые нулевые
геодезические, являющиеся генераторами Z-(J+), должны покидать J-(J+), если проследить за ними в будущее, нарушая тем самым теорему Пенроуза (§ 34.4). Предположите, что поверхность каждой дыры топологически подобна 2-сфере. Замечание. Аналогичное доказательство, если обратить всю картину во времени,
§ 34.6. Теоремы о сингулярностях 149
2
показывает, что если две черные дыры сливаются в одну, то генераторы входят в J~ (J+) из J~ (J +) в точке слияния, и площадь поверхности горизонта тем самым увеличивается.]
§ 34.6. ТЕОРЕМЫ О СИНГУЛЯРНОСТЯХ
II «ПРОБЛЕМА КОНЕЧНОГО СОСТОЯНИЯ»
Глобальные методы столь же эффективны при исследовании пространственно-временных сингулярностей, как и при исследовании горизонтов. Фактически именно доказательство Пенроуза [69] первой теоремы о сингулярностях привело к рождению глобальных методов изучения пространства-времени.
Подробное введение в круг вопросов, связанных с глобальными исследованиями сингулярностей, дано в книге Хоукинга и Эллиса [108]. Поскольку читатель уже получил первое представление о глобальных методах, мы сконцентрируем здесь внимание на качественном описании результатов.
Как заканчивается гравитационный коллапс? Является ли сингулярность, которой заканчивается сферический коллапс, типичной или асимметрии могут устранить ее? Что сингулярности представляют собой весьма общее явление и что при всем желании от них невозможно избавиться, было известно уже начиная с 1965 г. благодаря теоремам о сингулярностях, доказанным Пен-роузом, Хоукингом и Герочем. (Полный список литературы см. в работах [108, 193].)
Прежде чем приступить к изучению теорем о сингулярностях, необходимо уточнить само понятие сингулярность. Это вовсе не простая задача, как подчеркивал Героч [194], рассматривая все возможные «патологии», которые могут встречаться в пространственно-временных многообразиях. Однако после энергичных усилий многих людей Шмидт [195], в конце концов, дал определение, которое представляется удовлетворительным. На интуитивном языке определение Шмидта, которое носит весьма специальный характер, звучит приблизительно так. Рассмотрим в пространственно-временном многообразии все пространственноподобные геодезические (пути «тахионов»), все нулевые геодезические (пути фотонов), все времениподобные геодезические (пути, по которым движутся свободно падающие наблюдатели) и, наконец, все времениподобные кривые с ограниченным вдоль этих кривых ускорением (пути, вдоль которых в принципе могут двигаться наблюдатели). Предположим, что одна из этих кривых обрывается через конечный интервал собственной длины (или аффинного параметра, если речь идет о нулевой геодезической). Предположим, далее, что продолжить пространственно-временное многообразие за эту конечную точку невозможно, например, потому, что там
УПРАЖНЕНИЕ
Обзор теорем о сингулярностях
Определение
сингулярности
2
150 34. Глобальные методы, горизонты и сингулярности
Определение
ловушечиой
поверхности
Теорема Хоукин-га — Пенроуза о сингулярностях
кривизна бесконечна. Тогда такая конечная точка вместе со всеми близлежащими конечными точками называется «сингулярностью». (Что может быть более сингулярным, чем конец существования бедного тахиона, фотона или же наблюдателя, который движется вдоль обрывающейся кривой?)
В теоремах о сингулярностях используется еще одно важное понятие — ловушечная поверхность. Это понятие, введенное Пен-роузом [69], основано на детальном исследовании двумерных сферических поверхностей (г, t) = const, расположенных внутри горизонта в геометрии Шварцшильда. Эти поверхности указывают на близость сингулярности (г = 0) благодаря следующему их свойству: световые лучи, испущенные с одной из этих поверхностей наружу в направлении, перпендикулярном этой поверхности (т. е. выходящие ортогональные нулевые геодезические), по мере своего распространения сходятся друг с другом; то же самое можно сказать о «входящих» световых лучах, перпендикулярных этим
