Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Локально
лоренцева
геометрия
являетея
пространственно-
временным
аналогом локально
ЭВКЛИДОВОЙ
геометрии
§ 1.4. ЛОКАЛЬНО ЛОРЕНЦЕВА ГЕОМЕТРИЯ С КООРДИНАТАМИ И БЕЗ НИХ
На поверхности яблока в пределах отпечатка пальца геометрия является эвклидовой (фиг. 1.1, вид в увеличительное стекло).
В пространстве-времени в пределах ограниченной окрестности геометрия является лоренцевой. На яблоке расстояния между точками подчиняются теоремам геометрии Эвклида. В пространст-ве-времени интервалы («собственное расстояние», «собственное время») между событиями удовлетворяют соответствующим теоремам геометрии Лоренца — Минковского (дополнение 1.3). Эти теоремы легко проверяются на опыте в соответствующих крайне специфичных системах координат: эвклидовых координатах —
в эвклидовой геометрии, в естественном обобщении эвклидовых координат (локально лоренцевых координатах, локально ннер-циальной системе) — в локально лоренцевой геометрии физики. Однако содержание теорем не зависит от той или иной системы координат. При их формулировке имеют дело с интервалами и длинами. В наши дни для определения длины координаты нужны не более, чем они были нужны во времена Эвклида. Точки в огромном стогу сена — это и есть пространство-время; расстояния между этими точками — это и есть геометрия! Говорим ли мы о них на языке координат или на другом языке, они от этого не меняются (дополнение 1.3).
Дополнение 1.3. ЛОКАЛЬНО ЛОРЕНЦЕВА ГЕОМЕТРИЯ И ЛОКАЛЬНО ЭВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ (С КООРДИНАТАМИ И БЕЗ НИХ)
I. Локально эвклидова геометрия
Что мы имеем в виду, когда говорим, что на поверхности яблока в пределах небольшого отпечатка пальца геометрия является эвклидовой?
§ 1.4. Локально лоренцева геометрия с координатами и без них 51
I
А. Формулировка на языке, свободном от координат (Эвклид) Пусть дан отрезок AtS. Продолжим его на такую же длину %%. Пусть точка Si равноудалена от Л и %, но не принадлежит AZ. Тогда
= «2
+ S2
(Теорема Пифагора; справедливы также и другие теоремы эвклидовой геометрии.)
--------•
Формулировка на координатном языке (Декарт): Расстояние s от некоторой произвольным образом выбранной точки А до любой другой точки SS в подходящей (эвклидовой) системе координат задается выражением
sIf я=1x1 w (J)]Z +1x2 - х2 {J)?-
Если удается найти некоторую систему координат, в которой это выполняется для всех точек Л II SS ІГЗ рассматриваемой окрестности на поверхности яблока, то отсюда сразу следует, что: 1) эта система координат локально эвклидова, и 2) геометрия поверхности яблока является локально эвклидовой.
II. Локально лоренцева геометрия
Что мы имеем в виду, когда говорим, что геометрия достаточно ограниченной окрестности пространства-времени в реальпом физическом мире является лоренцевой ?
А. Формулировка на языке, свободном от координат (Робб [15]):
Пусть А% — мировая линия свободной частицы, SS — событие, не принадлежащее этой мировой линии. Пусть далее событие обозначает пересечение с Л% луча света, испущенного в SS, а — такое событие на Jk%, что испущенный в нем свет как раз попадает в SS.
Тогда собственное расстояние (пространствен-
ноподобный интервал) или собственное время (времениподобный интервал) определяются выражением
о2 — _ т2 — __ т т
Л& л& А®, А&‘
Доказательство сформулированного выше критерия
4*
I
52 I• Геометродикамика в кратком изложении
локально лоренцевой геометрии ясно из рисунка и приведенного ниже выражения, записанного в локально лоренцевой системе отсчета, в которой частица покоится;
= **'~ Х* “ ~ х) (* +Х) = '
Б. Формулировка на координатном языке (Лоренц, Пуанкаре, Минковский, Эйнштейн): Если задаться некоторым, произвольно выбранным событием Jt, то любое другое близлежащее событие 3S отделено от него собственным расстоянием или собственным
временем которые в подходящей (ло-
кально лоренцевой) системе координат определяются выражением
sIta= -?** -I*0 (#)-*“ W+
+ [**(#)-** (Л)]2 +
+ [X2(Jg)-X2(J))2 +
-Hz3(J1)-S3M)]2-
Если удается найти некоторую систему координат, в которой это выполняется локально для всех близлежащих событий Л и 9&, то отсюда сразу следует, что: 1) эта система координат локально лоренцева, и 2) геометрия пространства-времени является локально лоренцевой.
III. Положения, отражающие свойства нашего мира
Геометрия поверхности яблока является повсюду локально эвклидовой. Геометрия пространства-времени является повсюду локально лоренцевой.
IV. Локальная геометрия на языке современной математики
А. Метрика в произвольном многообразии:
В каждой точке на поверхности яблока, у каждого события в пространстве-времени и вообще в каждой точке любого «риманова многообразия» существует геометрический объект, называемый метрическим тензором д. Это своего рода «машина» с двумя входными каналами, куда «вводятся» два вектора:
вход 1 вход 2
I 1
9( , )•
§ 1.4. Локально лоренцееа геометрия с координатами и без них 53 |
Если в оба канала вводится один и тот же вектор и, то в результате полу* чается квадрат длины и:
