Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
(t/2m) = tg (t/2m).
Когда t = оо, новая координата t равна пт. Однако координаты г, / не позволяют различать точки вдоль пунктирной линии. Они также приводят к сжатым до нулевого объема «ячейкам в коробке для яиц».
метрическим объектом. Имя дается ради удобства, но вектор существует и без него.
Точно так же, как четверка координат
(х°, Xі, ха, X3) = (77, 23, 64, И)
является крайне удобным наименованием для события Тринити (по нему можно судить о том, какие события находятся поблизости), так и четверка «компонент»
(I0, I1, I2, S3) = (1,2, -0,9, 0, 2,1)
является удобным наименованием для вектора Джон, который выходит из точки
(х°, Xі, х*, X3) = (77, 23, 64, И)
и направлен в точку
(х°, X1, X2, X3) = (78,2, 22,1, 64,0, 13,1).
О том, как обращаться с компонентами вектора, сказано в дополнении 1.1.
Система координат может быть несовершенной во многих отношениях. Пример координатной сингулярности приведен на фиг. 1.4. Еще один пример координатной сингулярности — Северный полюс на поверхности глобуса. Обратите внимание, как в нем сходятся все меридианы («сжатие ячеек в коробке для яиц до пулевого объема»). Нельзя ли придумать нечто более совершенное? Например, ввести на всем глобусе единую систему координат, у которой нет сингулярностей. Существует теорема, дающая
§ 1.2. Пространство-время с координатами и без них 37
I
38 !• Геометродинамика в кратком изложении
ФИГ. 1.5.
Для хорошо известной системы координат на двумерной сфере можно избежать сингулярности, если покрыть сферу двумя перекрывающимися координатными листами, а — сферические полярные координаты, сингулярные на Северном и Южном полюсах и претерпевающие разрыв на линии перемены даты, б — проекция на сферу эвклидовых координат двумерной эвклидовой плоскости, касающейся сферы на Северном полюсе. Проекция построена посредством луча, проходящего через Южный полюс, на котором и появляется координатная сингулярность, в — покрытие двумерной сферы двумя перекрывающимися координатными листами. Один из них, построенный аналогично случаю б, покрывает северную полусферу с южными тропиками вплоть до тропика Козерога, и не содержит сингулярностей. Другой покрывает все тропики и южную полусферу и тоже не имеет сингулярностей.
Непрерывность
пространства-
времени
отрицательный ответ. Нужно как минимум два «координатных листа», чтобы охватить всю двумерную сферу без сингулярностей (фиг. 1.5). Это обстоятельство по-иному освещает тот факт, что точки и события первичны, а координаты — всего лишь система учета.
На фиг. 1.2 и 1.3 показано лишь несколько событий и мировых линий. На более подробном рисунке мы увидели бы целый лабиринт мировых линий, световых лучей и их пересечений. Отталкиваясь от такой картины, можно умозрительно перейти к идеали-
§ 1.2. Пространство-время с координатами и без них 39
I
зированному предельному случаю бесконечно густой сети световых лучей и мировых линий бесконечно малых пробных частиц. Этому идеализированному предельному случаю в физике однозначно соответствует математическое понятие непрерывного четырехмерного «многообразия» (четырехмерного пространства с определенными свойствами гладкости), и в этом предельном случае используются непрерывные, дифференцируемые (т.е. гладкие) системы координат. Таким образом, математика дает тот инструмент, с помощью которого мы рассуждаем в физике.
Размерность многообразия можно определить путем простого подсчета. Возьмем точку аР в «-мерном многообразии. Ее окрестностью является n-мерный шар (т. е. внутренность сферы, поверхность которой имеет п — 1 измерение). Выберем этот шар таким образом, чтобы его граница была гладким многообразием. Размерность этого многообразия равна п — I. В этом (п — 1)-мерном многообразии выберем точку Q. Ее окрестностью является (п — 1)-мерный шар. Выберем этот шар таким образом, ..., и т. д. В конце концов путем таких построений мы придем к двумерному многообразию, не зная еще, что оно двумерно {двумерная сфера). В этом двумерном многообразии выберем точку ЗЛ. Ее окрестностью является двумерный шар («диск»). Выберем этот диск таким образом, чтобы его граница была гладким многообразием (окружностью). В этом многообразии выберем точку 91. Ее окрестностью является одномерный шар, но мы еще не знаем, что он одномерен («отрезок линии»). Граница этого объекта состоит лишь из двух точек. Это обстоятельство позволяет заключить, что находящееся внутри многообразие одномерно; следовательно, предыдущее многообразие было двумерным и т. д. Размерность первоначального многообразия равна числу точек, использованных при построении. Размерность пространства-вре-менп равна 4.
Такого рода математические рассуждения о размерности вполне оправдывают себя в обиходной шкале расстояний, на уровне размеров атома (10-8 см), ядра (10-13 см) и даже расстояний на несколько порядков меньших, если судить по тому, насколько совпадают предсказания квантовой электродинамики с наблюдениями при высоких энергиях (соответствующих дебройлевской длине волны 10~1в см). Более того, классическая общая теория относительности рассматривает многообразие пространства-вре-мени как детерминированную структуру, абсолютно строго определенную вплоть до сколь угодно малых расстояний. Совсем не так обстоят дола в квантовой общей теории относительности, или в «квантовой геометродинамике». Она предсказывает сильные флуктуации геометрии на расстояниях порядка планковской длины
