Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Тогда относительное ускорение в случае трех или более измерений является вектором. Обозначим его D2Qds2, а четыре его компоненты обозначим D2Q1Ids2. Ho почему D, а не d? Потому что мы пользуемся абсолютно произвольной системой координат (ср. § 1.2). Вследствие кручения и поворота координатных линий компоненты Qt вектора | могут меняться от точки к точке даже тогда, когда сам вектор % остается неизменным. Следовательно, ускорения компонент d2|“/dsa в общем случае не равны компонентам D2QtIds2 ускорения!
Как же тогда определять компоненты D2QzIds2 относительного ускорения в искривленном пространстве-времени? Из уравнения отклонения геодезических (1.6), которое теперь имеет более сложный вид. В дифференциальной геометрии (часть III данной книги) вводится геометрический объект, называемый тензором кривизны Римана R. Тензор R является аналогом гауссовой кривизны R поверхности нашего яблока в случае более высокой размерности многообразия. Тензор R — математический объект, содержащий в себе все сведения об изгибах и деформациях пространства-времени. Посредством R эти изгибы и деформации (кривизна пространства-времени) проявляются в относительном ускорении геодезических.
Тензор R, как и метрический тензор g в дополнении 1.3, можно представить себе, как совокупность «машин», по одной на каждое событие в пространстве-времени. У каждой машины имеется три
§ 1.6. Кривизна 65
I
входных канала, куда «вводятся» три вектора: вход 1 вход 2 вход 3 L I I
R( )•
Выберем в качестве опорной геодезическую (мировую линию свободной частицы), проходящую через событие й, и обозначим единичный вектор, касательный к ней (4-скорость частицы), через
U = ix/dx; компоненты ua=dxa/dx. (1.7)
Рассмотрим еще одну геодезическую, близкую к опорной, и обо-
значим разделяющий их вектор, перпендикулярный к опорной геодезической, через |. Введем и в первый входной канал R, взятый в $, \ — во второй и и — в третий. R начнет «работать» и через некоторое время произведет новый вектор
R (u, I, и).
Уравнение отклонения геодезических гласит, что этот новый вектор равен относительному ускорению двух геодезических, взятому с обратным знаком:
IH/dT2+R(u,l, u) = 0. (1.8)
Тензор Римана, подобно метрическому тензору (дополнение 1.3) и всем другим тензорам, является линейной машиной. Вектор, который он «производит», является линейной функцией каждого из вводимых в него векторов:
R(2u, aw-f-bv, Зг) =
= 2Xах3R(u, Wt r) + 2xbx3R(u, v, г). (1.9)
Следовательно, в любой системе координат компоненты вектора на выходе можно представить как «трилинейную функцию» компонент векторов на входе:
г = R (u, V, w) <^> ra = i?aPveupyV. (1.10)
(Здесь также подразумевается суммирование по индексам {$, у, 8; ср. дополнение 1.1.) 4х4х4х4 = 256 чисел і?°рув называются «компонентами тензора Римана в данной системе координат». Выписанное в компонентах, уравнение отклонения геодезических принимает вид
.D2Sot і р<* dx^ ру Ar® л ,, о»\
-^ + jffPve-ST-S-JT = O. (1-е)
В геометрической теории тяготения Эйнштейна действие геометрии на материю находит полное выражение в уравнении отклонения геодезических. Это уравнение в физике гравитации имеет такое же значение, как и уравнение для силы Лоренца
<,и>
в теории электромагнетизма. Cm. дополнение 1.7.
Тешюр Римана
в уравнении
отклонения
геодезических
приводит
к относительным
ускорениям
Уравнение
отклонения
геодезических аналогично уравнению для силы Лоренца
5—01457
I
66 I' Геометродинамика в кратком изложении
Геометрические
іщнміїци
Оценка компонент
теваора Римана
по относительным
ускорениям
медленно
движущихся
частиц
В пространстве-времени кривизна измеряется в тех же единицах см-2, что и на поверхности яблока. Эти единицы выступают в наиболее явном виде тогда, когда масса выражается в «геометрических единицах»:
т (см) = (GIci) т0бычн(г) = (0,742 -IO-28 см/г) т0бычн(г). (1.12)
Такое обращение граммов в сантиметры с помощью соотношения
Glc2 = 0,742 .IO-28 см/г
полностью эквивалентно обращению секунд в сантиметры с помощью соотношения
9,4605460000-IO17 см 31556 925,974 с
(см. конец § 1.5). Масса Солнца, в обычных единицах равная добычи = 1,989-IOss г, в геометрических единицах составляет т = 1,477 км. Более подробно см. в дополнении 1.8.
Используя геометрические единицы и ньютоновскую теорию тяготения, легко оценить в окрестности Земли и Солнца девять компонент риманова тензора кривизны, которые представляют наибольший интерес. Делается это аналогично тому, как напряженность электрического поля определяется путем измерения ускорения пробной частицы, движущейся с малой скоростью. Рассмотрим расстояние между геодезическими двух близких пробных частиц, движущихся с малой скоростью (v с) на расстоянии г от Земли или Солнца. В общепринятой почти инерциаль-ной системе координат небесной механики всеми компонентами 4-скорости начальной пробной частицы за исключением ChftIdx = 1 можно пренебречь. Пространственные компоненты уравнения отклонения геодезических имеют вид
