Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
g (и, и)=U2.
Если вводятся два различных вектора и и v (неважно в каком порядке!), то в результате получается число, называемое «скалярным произведением и на V» и обозначаемое u-v:
Я(“. *) = ¦(*. и) = и• у = у• и.
Метрика является линейной «машиной»:
g(2u + 3w, v) = 2g (и, v) + 3g(w, v), g(u, av + bw) = ag (u, v) + bg(u, w).
Следовательно, те действия, которые она производит над двумя векторами в заданной (произвольно) системе координат, можно записать в виде выражения, билинейного по компонентам этих векторов:
g (u, v) = gag,uavt = gnuW + ?12^2+g2i«V + . . .
Величины IraP = gPa (а и P пробегают значения от 0 до 3 в пространстве-времени и от 1 до 2 — на поверхности яблока) называются «компонентами g в данной системе координат».
Б. Компоненты метрики в локально лоренцевой и локально эвклидовой систе~ мах координат:
Чтобы установить связь между метрикой и предыдущим описанием локальной геометрии, введем локально эвклидовы координаты (на яблоке) и локально лоренцевы координаты (в пространстве-времени). Пусть
I — вектор, разделяющий точки А и SS и направленный из А в SS. Его компоненты в локально эвклидовых (лоренцевых) координатах имеют вид
Ia = Xa(SS)-Xa-(J)
(ср. дополнение 1.1). Тогда квадрат длины вектора U, или, что то же самое, квадрат расстояния от А до SS, должен составлять (ср. выше I ,Б и II, Б)
( (I1)2 + (I2)2 на яблоке,
•6-g(6,S)=ga(tt=s^4>= 4 -(ET+dT+dy+d3)2
I в пространстве-времени.
Следовательно, компоненты метрики равны
^11 = ^22=1) #12 = ?21 = О, т- е- gap = Sap на яблоке в локально эвклидо-
вых координатах;
goo=—I, goft = 0, gih = 6if! в пространстве-времени в локально лоренцевых координатах.
Эти специфические компоненты метрики в локально лоренцевых координатах здесь и ниже обозначаются посредством gили по аналогии
Vl г
J /
СІ /
54 1- Геометродинамика в кратком изложении
с символом Кронекера бар. В матричном обозначении они имеют вид
-P- —>
0 1 2 3
0 -1 0 0 0
1 0 1 0 0
2 0 0 1 0
3 0 0 0 1
§ 1.5. ВРЕМЯ
Время определено таким образом, чтобы движение выглядело простым.
Время бодрствует, когда все кругом спит.
Время стоит не шелохнувшись, когда все кругом рушится. Время видит конец всего, но ему нет конца.
Есть, было и будет — дети времени.
«МАХАБХАРАТА» (400 г. н. э.)
временная
Координата
локально
лоренцевой
Системы отсчета
определяется
таким образом,
чтобы движение
выглядело
простым
По отношению к локально лоренцевой системе отсчета свободная частица «движется по прямой линии с постоянной скоростью». Что значит «по прямой линии», достаточно хорошо пояснено на модели инерциальной системы отсчета, приведенной на фиг. 1.7. Ho где проявляется «постоянная скорость»? И где вообще проявляется «скорость»? На фиг. 1.7 совсем нет часов!
В более детально разработанной модели лоренцевой системы отсчета должны быть не только отверстия, как на фиг. 1.7, но и задвижки на каждом отверстии, приводимые в действие часовым механизмом. Снаряд попадет в цель лишь в том случае, если он: 1) пролетит по нужной траектории в пространстве її 2) проскочит отверстие в нужный интервал времени («окно во времени»). Ho прежде необходимо дать определение времени. Время определяется таким образом, чтобы движение выглядело простым!
Нет такой стандартной меры времени, которая нашла бы более широкое применение, чем сутки — время от одного полудня до другого. Ho стоит принять их в качестве эталона, как тотчас обнаруживается, что любые хорошие часы расходятся с ними по следующей простой причине. Земля вращается вокруг своей оси и, кроме того, совершает орбитальное движение вокруг Солнца. Движение Солнца по небосводу является результатом не одного какого-нибудь из этих движений, а их обоих в совокупности, хотя они и сильно различаются в количественном отношении. Угловая скорость быстрого вращения Земли вокруг своей оси (приблизительно 366,25 оборота в год) постоянна с уди-
§1.5. Время 55
вительной степенью точности. Совсем другое дело — кажущаяся угловая скорость вращения Солнца вокруг центра Земли (один оборот в год). Она превышает среднее значение на 2%, когда Земля при своем движении по орбите (эксцентриситет 0,017) оказывается на 1 % ближе к Солнцу, чем среднее удаление (закон Кеплера), и на 2% меньше среднего значения, когда удаление Земли от Солнца на 1 % превышает среднее. В первом случае мгновенная скорость вращения Солнца на небосводе, выраженная в оборотах в год, приблизительно составляет
366.25— (1 + 0,02); во втором случае она составляет
366.25- (1- 0,02).
Положив, что «средние солнечные сутки» содержат 24 X 3600 = — 86 400 эталонных секунд, мы видим, что, когда расстояние от Земли до Солнца на 1 % меньше (или больше) среднего значения, число эталонных секунд от одного полудня до другого больше (или меньше) нормального значения на
0,02 (перепад в оборотах за год) 8(} 400 с 4 7 с 365,25 (среднее число оборотов в год) ~ ’
Все сказанное выше относится к учету времени, протекающего от полудня до полудня. Ясно, что эталон времени, который так сильно меняется от месяца к месяцу, недопустим. Если его принять, то и скорость света будет меняться от месяца к месяцу!
