Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
Г,0 ГЛ. II. СВЕДЕНИЕ К СТАЦИОНАРНОЙ ЗАДАЧЕ РАССЕЯНИЯ
Сравнивая это уравнение с (2.33), приходим к заключению, что к уравнению (2.33) не применима альтернатива Фредгольма. Ясно при этом, что отвечающий ему оператор имеет непрерывный спектр.
Указанная трудность делает невозможным прямое использование уравнений теории возмущений для обоснования постановки задачи рассеяния при N > 3. Поэтому следующая задача состоит в том, чтобы получить интегральные уравнения для волновых операторов, к которым была бы применима альтернатива Фредгольма. Выводом таких уравнений мы займемся в первую очередь в следующей главе.
Оператор рассеяния. Выразим ядра матричных элементов оператора рассеяния в терминах операторов перехода. С этой целью удобно воспользоваться их нестационарным определением (1.39). Применяя равенство (2.6) и учитывая затем соотношения (2.24) и (2.25), получим интегральное представление, в котором интегрирование ведется по контуру, охватывающему спектр оператора Н. Заметим далее, что подынтегральное выражение не имеет особенностей в нижней полуплоскости, и продеформируем контур интегрирования в прямую Х + 1е, —оо<^<оо? параллельную вещественной оси. Придем к следующему представлению:
со / г
(рв, р'л)=4 нш ит г л ^Мв:Ра: х) +
(2-»-оо
+ ква(рв< РА'* + «е)_
(Ев {Рв) — Я — ге) (ЕА (р'А) - Х- 1е)
X ехр { + I {Ев (рв) — А, — ге) — г (ЕА (р'А) — X — ш) ?2},
(2.34)
где
6* (рв, Ра, А.) =
= | йР"Ьв{Р", рв)ЬА(Р", рА) + КА{Р, р'А, % + и).
Результат предельного перехода в этой формуле определяется соотношением между положением полюсных особенностей и характером осцилляции экспонент при ?12 ±оо. Взаимосвязь между этими факторами такова,
§ 3. ПОЛЮСЫ РЕЗОЛЬВЕНТЫ Й ВОЛНОВЫЕ ОПЕРАТОРЫ 01
что конечный предел существует лишь для тех слагаемых резольвенты, полюсные особенности которых совпадают с нулями цоказателей экспоненты. При этом для вычисления предела следует учесть соотношение:
Лгхг f=F 2я?б (х). t-> ± оо, Hm i—= _ W' # (2.35)
Из этих соотношений вытекает, что первое слагаемое, которое отвечает функции бг?>, дает нетривиальный вклад б ^рА — рА) только при А = 5, а в остальных случаях его предел равен нулю. Предел, который порождается ядром КВА, равен произведению б-функции б (#в(рБ) —ЕА(рА)^ на ядро Ква. В результате получаем равенство
Sba (рБ, Ра) = 6ав6 (рА — Рв) — - 2Ш6 (Ев(Рв) - ?А (рА)) UTba (рБ, рл, #а (ра) +-*0).
(2.36)
Здесь индексы В я А пробегают значепия всех капалов, включая А, В = 0.
Отметим, что если в соотношении (2.34) выполнить только предельный переход t2 — °°, то на основании (2.24) и (2.25) получим следующее представление:
S?A = lim lim iee^^^L^R (EA + гг) LA._
f-»oo e\ 0
Итогом приведенных выше рассуждений являются формулы, имеющие простой, смысл. Рассмотрим ядро резольвенты i?(P, Р\ z) как функцию трех переменных. Тогда соотношения (2.29) и (2.30) показывают, что ядра волновых операторов совпадают с вычетом этой функции в полюсах, отвечающих второму аргументу, {Р'2 — z)""1
и {ЕА{рА) — я)"1- Если затем рассмотреть ядра волновых операторов как функции двух переменных, то ядра матрицы рассеяния можно отождествить с вычетами этой функции по первому аргументу.
Таким образом, волновые операторы и матрицу рассеяния можно определить как коэффициенты при полюсах ядра резольвенты в импульсном представлении, взя-
62 гл. ii. сведение к стационарной задаче рассеяния
тые при специальных значениях «энергетических» переменных ?а(рл) и Ев(р'в), которые определяются законами сохранения энергии в процессах рассеяния. В соответствии с этой ролью ядер T(z), KA(z), Kab{z) функцию гср, Р\ Р'2±Ю) называют г-матрицей на полуэнергетической поверхности, ядра КА(Р, дА, ЕА(рА) ± Ю) —компонентами г-матрицы на полуэнергетической поверхности и ядро Т(Р, Р', р,2 + Ю) при i>2 = P'2 и ядра КА(Р, рА, Еа(ра)+ Ю) при i>2 = ЕА (рА), КАВ(рА, рв, Ев(рв)+Ю)
при ЕА (рЛ) = Ев {р'в) —г-матрицей и ее компонентами на энергетической поверхности.
Интегральные представления. Ядра оператора рассеяния щ)жно выразить непосредственно через волновые функции с помощью интегральных представлений. Чтобы получить такие представления, обратимся к соотношениям (2.24), (2.10) и (2.30). Рассмотрим ядра операторов в (2.20) при z = EB(pB) + ze, ЕА(рА) = Eb^Pjq). Умножим
это соотношение на ггЪв слева и на оператор ЬА справа и перейдем к пределу г \ 0, учитывая при этом равенство
lim feLjR (Ев + iE) = и(Б~ь,
е| о
сопряженное к~ (2.3). Получим следующее интегральное представление:
КВа [рв, Ра, Еа (ра) + =
= J U(b]* (X, рв) Vа (X) LA (X, рА) dX, (2.37)
где импульсные переменные лежат на энергетической поверхности ЕА(р'А)= Ев(рву Здесь, как и в (2.36), индексы 'А и В могут принимать все значения, включая "Л, 5 = 0.
Отсюда хорошо виден физический смысл ядер Ква> В согласии с правилами теории возмущений, эти ядра определяются матричными элементами потенциала «возмущения», вычисленными между начальным ЬА и конечным UB ) состояниями системы.
§ 4. особенности резольвенты (заряженные частицы) 63'
