Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
Отметим, наконец, что первую группу слагаемых в формуле (2.17), которая называется несвязной частью резольвенты №Ы]„С, можно явно выразить через операторы Ra, (^).
где слагаемые во второй и третьей группах являются соответственно aN-i- и а^-г-связными.
Продолжим эту процедуру. На каждом шаге будем использовать тождество С2.10) для пары RaN_t и R(z) и
•?laN—l
заменять возмущение V суммой:
^aN-l vi ijaN-l
— п Л VaiY-Z-l'
aN-l—l^N-l
После N — 1 шагов получим представление R(Z) = E0(Z)+ 212[ROj(z)lf0 +
+ 2[Ra2(z)]ia2)V°2R(Z), (2.17)
а2
где через [Rajc ^ обозначена агсвязная часть резольвенты Rttj (я):
= 2 (- if-' B0ve//_1R.w_1v:«;:jRew_I... T«*Rai.
i
Символ 2 означает суммирование по всем цепочкам разбиений Аг с фиксированным значением I.
Ясно, что ядра операторов [Ra2]i 2^V 2 связны. Дещ;
г т» т (а2)
ствительно, ядро оператора [Ra2Jc « по построению.
54 гл. II. сведение к стационарной задаче рассеяния
T(z)=V- VR(z)V.
(2.21)
Справедливо следующее равенство: [R(z)]„c = R0(z) +
+ SS(-Dl ' ' (S Al) - il (в., M - R0 (г))-
Z=2 aj X 7 4
(2.18)
Здесь через n\ ^ обозначено число подсистем разбиения
аи состоящих из i частиц, так что 2 ^ = N.
Доказательство этого равенства может быть получено обращением рассуждений, которые привели нас к представлению (2.17), и последующим приведением подобных членов.
Итак, мы представили операторы R(z) в виде суммы связных и несвязных частей. Ядра несвязных частей имеют o-функционные особенности, а ядра связных частей являются гладкими функциями при комплексных Z.
Полюсные особенности. Второй вид особенностей обязан своим происхождением полюсным сингулярностям ядер RQ и Rak- При этом особенности, отвечающие резольвенте оператора кинетической энергии (Р2 — z)-1, существуют независимо от структуры дискретного спектра операторов энергии подсистем, а сингулярности по энергиям каналов (ЕА(рА) — z)~l появляются лишь при наличии кластерных состояний. По этой причине мы часто будем называть последние кластерными особенностями.
Мы опишем полюсные особенности ядра резольвенты в терминах операторов перехода, которые определяются равенствами
Vaibk (z) = Ybk + VajR (z) Vbh. (2.19)
Домножая эти равенства на операторы Ra; и Rbfe и применяя тождества (2.10), получим следующие представления для резольвенты R(z) в терминах операторов перехода:
R (z) = Rbft (z) - R0/(z) \Ja[bk (z) Rbk (z). (2.20)
Отметим, что оператор перехода при 1 — к = N называется Т-матрицей и обозначается ТЫ, так что
§ 2. ОСОБЕННОСТИ РЕЗОЛЬВЕНТЫ (НЕЙТРАЛЬНЫЕ ЧАСТЙНЫ) 55
Резольвента выражается через Г-матрицу равенством ЯЫ) = К0(г) - К0ЫТЫ1Ш. (2.22)
Согласно последнему равенству, ядро резольвенты имеет полюсные особенности, которые отражает представление
Аналогично, равенство (2.20) позволяет явно выделить кластерные полюсные особенности (ЕА(рА) — и
(Ев(р'в) — я)-1. Действительно, умножим равенство (2.20) па оператор Рв справа. В силу (2.14) получим для ядра /?ЫРВ представление
(яр в) (р, р\ *) - б (Рв - Р'в) -
-^(Р,^,г) , (2.24)
Ев{Рв)-2
где явно выделены особенности по переменной рв- В свою очередь ядро КВ{Р, Рв, г) имеет особенности по переменной Р, которые определяются особенностями (2.14) ядер В-ац в (2.20), так что
Кв(Р,р'в, *) = = 2Й^-^в^я. ^, г) + *\ (2.25)
^ А \"А) 2
где суммирование ведется по всем детализованным разбиениям, включая А = 0: При этом, как это оговаривалось выше, по определению полагается г|)А = 1, хА = 0 при Л = 0. Ядро К уже полюсных особенностей не имеет.
Сопоставим ядру Кв{Рнрв,ъ) интегральный оператор, действующий из канала $Б в пространство <?. Этот оператор выражается через резольвенту равенством
КВЫ = ЪШви (2.26)
или, в терминах оператора перехода,
квы = к0ыиовыьв.,
Аналогично, ядрам КАВ(рА, р'в, z) можно сопоставить
5Й гл. й. сведение к стационарной задаче рассеяний
'операторы перехода КАВ{г), действующие из канала В в канал А. При А =7^0 справедливо представление
КавМ = Ьа1\]авМЬв, (2.27)
а при А = 0 эти операторы можно задать равенством
ков(*) = (1-2гЛ)кв(*).
Эти соотношения понадобятся нам в следующем параграфе.
Важную роль в различных вычислениях играет свойство разделимости полюсных особенностей:
сингулярные знаменатели Р2 — ъ и ЕА{рА) — ъ не обращаются в нуль одновременно, так что многообразия, на которых они сосредоточены, не пересекаются.
Чтобы в этом убедиться, рассмотрим разность б/ = = (Р2 — z) — (рл — %а — г), которая в силу равенства Р2 = к А + Ра может быть записана в виде б/ = к а +^а» что влечет строгое неравенство б/^е>0..
Более того, не пересекаются и кластерные особенности для разбиений аь и а,+1, следующих одно за другим. Действительно, пусть разбиение а^ получено из аь делением подсистемы ?2 на две части со и со7. Заметим, что тогда справедливо равенство Ра/+1 = Раг + &аш'- Поэтому разность
б/, = (р21+1 - -г)- [р1г - х?в| - г) может быть представлена в виде
Заметим, наконец, что из предположения о структуре дискретного спектра гамильтонианов подсистем вытекает неравенство К?а1+1 ^ х*аг> чт0 гарантирует положительность разности б/*. Из доказанного утверждения следует, что не пересекаются также особенности для произвольных кластерных разбиений аь и ак, связанных отношением включения а* => ак.
