Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
Кроме особенностей, которые мы сопоставляем состоянием рассеяния, ядро резольвенты имеет полюса на вещественной оси при % — —Е{, отвечающие- связанным состояниям системы N тел' 1|)г-. Справедливо
§ 3. ПОЛЮСЫ РЕЗОЛЬВЕНТЫ И ВОЛНОВЫЕ ОПЕРАТОРЫ
57
представление
п0
+ 7? (?,/>',*),
где оператор И(^) ограничен в окрестности точек дискретного спектра. Напомним, что по предположению о строении дискретного спектра многочастичных гамильтонианов собственные значения — хА удовлетворяют неравенствам — ^<П1тХ24.
А
Чтобы закончить исследование особенностей резольвенты, мы коротко опишем полюсные сингулярности операторов ГЦ (я), которые входят в несвязную часть резольвенты, и тем самым установим соотношение между 6-функционными и полюсными особенностями.
Оператору На^ соответствует задача рассеяния для системы N тел, в которой выключены взаимодействия между входящими в разбиение щ подсистемами. Для исследования особенностей резольвенты этого оператора можно применить тождества (2.11) при к>1. Повторяя рассуждение, которое мы провели в случае оператора Н, придем к выводу, что особенности (г) описываются теми же соотношениями, что и в случае резольвенты II(я), с той разницей, что индексы В, А в (2.24), (2.25) должны принимать допустимые значения: Ъ, <= щ, ак ^ щ.
С другой стороны, задача рассеяния, для оператора На^ является вырожденной и резольвента Каг(2) явно
описывается в терминах внутреннего гамильтониана Ъа^\ а резольвента последнего — через резольвенты операторов энергии подсистем. Поэтому все коэффициенты при полюсных особенностях можно явно выразить через операторы перехода для подсистем. Таким образом, вычисление этих коэффициентов сводится к решению набора задач рассеяния для меньшего числа частиц, которые должны считаться заданными при рассмотрении проблемы N тел.
§ 3. Полюсы резольвенты и волновые операторы
В этом параграфе мы выразим волновые операторы и оператор рассеяния в терминах операторов перехода.
Ядра волновых операторов. Согласно представлению (2.24), ядро оператора Я^)ЪА при я = Ел(р'л)±№
58 гл. и. сведение к стационарной задаче рассеяния
выражается через ядра операторов перехода равенством <ЯЬА){Р, Р'А, ЕА(р'А)±1г) =
= ^ [уА (кА) б (рд — р'А) — КА (Р, р'А, Еа (рА)'± Щ.
(2.28)
Подставляя это равенство в формулу (2.3) и переходя к пределу е I О, получим следующее представление:
(Р, Ра) = Ч> (Аа) 6 (РА - Ра) ~
-КА{Р,рА,ЕА(рА)±Ю). (2.29)
Альтернативно, в соотношении (2.28) можно выделить полюсную особенность (Р2— ЕА{рА)::Р отвечающую
резольвенте Ro{z). Получим представление
где через ТА^) обозначено ядро оператора из $А в ф, задаваемого равенством TA(z) = UoA(z)LA. При 4=0 оператор ТА совпадает с Г-матрицей и это представление принимает следующий вид:
ир> (р, р') = б (р - р') - г(^5Р^7о'0)- (2-30)
Согласно (2.25), ядро Га имеет кластерные особенности, так что его можно записать в виде суммы
+ ТА{Р, р'А, z).
Здесь через Фа обозначена функция, которая выражается через г|)Л равенством "
Фа{?а) = (>а + ХаНа(^). (2.31)
Эту функцию называют форм-фактором. При выводе этого соотношения мы использовали тождество
-1 фа(ка) .. ^ /14 ( 1___1_Л
(2.32)
§ 3. полюсы резольвенты и волновые операторы
59
Наряду с полюсными особенностями, ядра ТА(Р, рА, я) имеют 6-функционные особенности, отвечающие несвязной, части резольвенты. Последние, однако, существуют лишь в том случае, если детализованное разбиение состоит из трех или большего числа кластеров. В случае, если это разбиение состоит из двух кластеров, ядро ТА б-функционных особенностей не имеет. Доказательство этого факта основано на явных представлениях (2.18) для несвязной части резольвенты.
Отметим, что волновые операторы подчиняются интегральным уравнениям теории возмущений, которые отличаются от аналогичных уравнений для резольвенты лишь свободными членами. Чтобы получить такие уравнения, умножим соотношение (2.10) справа на ^бЬл, положим г= ЕА (р'А) ± гъ и перейдем к пределу е I 0. Учитывая равенство (2.3), найдем следующее интегральное уравнение второго рода:
и^(Р,р'а) = ЬА(Р,р'А)-
-1 (ВАУА) {Р, Р", ЕА (рА) ±10) иА {Р", рА). (2.33)
В операторной форме они выглядят следующим образом:
и?} = Ьд - ИА (ЕА ± Щ УА\]^\
Естественно было бы положить эти уравнения в основу альтернативного определения волновых операторов и изучить с их помощью свойства ядер последних. Мы. покажем далее, что в случае систем двух частиц такой подход действительно даёт возможность обосновать постановку задачи рассеяния. При этом главное свойство этих уравнений при N = 2 состоит в том, что к ним применима альтернатива Фредголь^а. Данное свойство, однако, пропадает в случае систем трех и большего числа частиц.
Чтобы в этом убедиться, рассмотрим уравнение (2.10), порожденное детализованным разбиением А, и умножим его на оператор ^1гЬв для детализованного разбиения 5, отличного от А. <В пределе е I 0 неоднородный член аннулируется, так что для оператора получим однородное уравнение:
14^ = - Б-а (Ев ± 10) УлЦ^.
