Механика и теория относительности - Матвеев А.Н.
ISBN 5-329-007242-9
Скачать (прямая ссылка):
величиной. Поэтому exp (?Й1) есть гармоническая функция. В вещественном
виде колебание, описываемое равенством (59.8), представляется формулой
х = А0е- у1 cos й^, (59.10)
причем взята действительная часть комплексного колебания (59.8). Это есть
колебание, амплитуда которого уменьшается, а частота ?2 постоянна. График
этого колебания изображен на рис. 143.
Это колебание не является периодическим и тем более оно не является
гармоническим. Период гармонических (периодических) колебаний
определяется как время, через которое колебание повторяется. В случае
(59.10) колебания не повторяются, поэтому понятие периода теряет смысл.
Тем не менее удобно говорить о периоде этих колебаний, понимая под
периодом промежутки времени, через которые смещение обращается в нуль. В
этом же смысле можно использовать представление о частоте колебаний й =
2п(Т. За амплитуду колебаний принимается величина А = А0с~у(, даваемая
формулой
(59.10) и имеющая смысл максимальных отклонений при последовательных
колебаниях.
59. Затухающие колебания
367
Из формулы (59.10) видно, что амплитуда колебаний уменьшается в е = 2,7
раза в течение времени
(59.11)
В § 55 говорилось об экспоненциально быстром уменьшении физических
величин. На основании сказанного там естественно назвать время т3ат
временем затухания. Величина у называется декрементом затухания.
Логарифмический декремент затухания. Сам по себе декремент затухания у не
очень много говорит об интенсивности затухания колебаний. Например, в
течение времени Дг амплитуда уменьшается в е*д< раз. Но в зависимости от
периода колебаний за это время происходит различное число колебаний. Если
колебаний произошло много, то за каждое колебание имело место небольшое
изменение амплитуды. Если же колебаний произошло немного, то за каждое
колебание амплитуда изменялась значительно. Ясно, что в первом случае в
определенном смысле колебания затухают медленнее, чем во втором.
Поэтому величину затухания необходимо отнести к естественному масштабу
времени колебания, т. е. к периоду колебаний. Интенсивность затухания
характеризуется затуханием их амплитуды за один период колебания и
поэтому вместо декремента затухания у удобно пользоваться так называемым
логарифмическим декрементом затухания.
Найдем амплитуды колебаний в два последовательных промежутка времени,
разделенных периодом колебания Т:
Аг = А0е~У'\ А2 = A0e~v(i, + т) (59.12)
Отсюда следует
А1/А2 = еУт. (59.13)
Поэтому изменение амплитуды колебаний за период характеризуется величиной
0 = уТ, называемой логарифмическим декрементом затухания. Из (59.13)
находим
(59.14)
Логарифмический декремент затухания есть логарифм отношения амплитуд
колебаний через один период.
Логарифмическому декременту затухания можно дать и другую интерпретацию.
Рассмотрим уменьшение амплитуды колебаний в течение N периодов, т. е. за
время NT. Вместо формул (59.12) можно написать
0 = In (А^Ач).
Т-зат - 1/Y-
A^AqQ yti, + 1 = А0е-У^ + мтК
(59.15)
368 Глава 13. КОЛЕБАНИЯ
Поэтому отношение амплитуд, разделенных интервалом времени в N периодов,
равно
Лл-ц/Л^е^^е(tm). (59.16)
При N9 = 1 амплитуда уменьшается в е раз. Поэтому можно сказать, что
логарифмическим декрементом затухания
6 = 1 /N
(59.17)
называется величина, обратная числу периодов, в течение которых амплитуда
затухает в е раз. Такая интерпретация дает очень наглядное представление
об интенсивности затухания: амплитуда затухает в е раз в течение числа
колебаний, равного обратной величине логарифмического декремента
затуханий. Если, например, 9 = 0,01, то колебания затухают лишь примерно
после 100 колебаний. В течение 10 колебаний амплитуда изменяется очень
мало, примерно на 1/ю своего первоначального значения. Благодаря этому
при рассмотрении процессов, происходящих лишь в течение небольшого числа
периодов, в первом приближении можно считать колебания незатухающими.
По-другому обстоит дело при большем логарифмическом декременте затухания.
Если 9 = 0,1, то уже после 10 колебаний они полностью затухнут. За
несколько колебаний затухание уже значительно. Поэтому при рассмотрении
процессов, происходящих даже в течение нескольких периодов, нельзя в
качестве приближения считать колебания незатухающими.
Случай большого трения (у cd0)- При увеличении трения период колебания
увеличивается. При большом трении движение вообще перестает быть
колебательным. Это наступает при условии
у - <о0, Ь - 2У кт. (59.18)
При дальнейшем увеличении трения у > <а0. Полагая |Лоо - У* = = dt t'6,
где 6 = У^у2 - а>1 является вещественной величиной, можно формулу (59.3)
представить в виде
х = Л0е-<?±в><, (59.19)
причем очевидно, что у±б = у±|/гу!! -о)о>0. Эта простая экспоненциальная
функция никакого колебания не содержит. Ее график приведен на рис. 144.
Все эти явления очень хорошо демонстрируются на колебаниях маятника,
помещенного в жидкости с различной вязкостью. Если вязкость очень велика
(например, в глицерине), то маятник из
