Механика и теория относительности - Матвеев А.Н.
ISBN 5-329-007242-9
Скачать (прямая ссылка):
колебаний является соотношение их фазы и фазы внешней силы. В формуле
(60.10) для смещения это соотношение определяется величиной ф, поскольку
зависимость силы от времени дается функцией cos (at. Если ф < 0, то
смещение запаздывает по фазе от внешней силы. Зависимость фазы ф от
частоты, выражаемая формулой (60.86), называется фазовой резонансной
кривой (рис. 147).
При очень малых частотах о> ш0 фаза ф мала и отрицательна. Это означает,
что смещение отстает по фазе от силы на очень небольшую величину: с
возрастанием частоты отставание смещения по фазе от силы увеличивается.
При резонансе смещение отстатет от силы по фазе на я/2. Это означает, что
в тот момент, когда сила достигает максимального значения, смещение равно
нулю, а когда сила равна нулю, смещение максимально. При дальнейшем
возрастании частоты отставание смещения от силы продолжает увеличиваться
и при очень больших частотах со со0 приближается к я. Иначе можно
сказать, что смещение и сила направлены почти противоположно, поскольку
cos (соt - я) - -cos coZ. Поэтому, когда, например, сила достигает
максимального положительного значения, смещение имеет максимальное
отрицательное значение. Затем сила и смещение изменяются в
противоположных направлениях, проходя нулевое значение почти
одновременно.
Эти фазовые соотношения между смещением и силой позволяют более глубоко
понять сущность явления резонанса. Как было отмечено в § 57, скорость
опережает смещение на я/2. С другой стороны, при резонансе сила опережает
смещение также на я/2. Следовательно, скорость и сила колеблются в одной
фазе, т. е. сила все
60. Вынужденные колебания. Резонанс
377
время совпадает по направлению со скоростью. Поэтому работа внешней силы
достигает максимального значения. Если резонанса нет, то часть времени
сила совпадает по направлению со скоростью и, следовательно, энергия
осциллятора увеличивается, а часть времени действует против скорости и,
следовательно, его энергия уменьшается. Поэтому резонанс характеризуется
наличием максимально возможных благоприятных условий для передачи энергии
от источника внешней силы к осциллятору. Самые неблагоприятные условия
передачи энергии от источника внешней силы к осциллятору имеют место при
со со0 и со о>0, когда фазы силы и скорости отличаются почти на л/2. Это
означает, что сила примерно половину времени направлена противоположно
скорости и половину времени совпадает с ней. Таким образом, в среднем
осциллятору от источника внешней силы передается незначительная энергия
за период колебаний и поэтому амплитуда колебаний в этих случаях очень
мала.
Периодическая, но не гармоническая сила. Если действующая на осциллятор
внешняя сила F0f (t) является периодической с периодом Т, то по известным
из математического анализа формулам ее можно представить в виде ряда
Фурье, каждый член которого является гармонической функцией:
СО
Fof{t) = Fo (an cos sin rcotf),
n=0
где со = 2лIT. Эта сила действует на осциллятор вместо силы (60.1) и
входит в правую часть уравнения (60.3).
Для нахождения результата ее действия никаких новых расчетов делать не
требуется. Достаточно учесть, что уравнение (60.3) является линейным и,
следовательно, его решение может быть представлено как сумма решений
уравнений, в правой части которых стоит один из членов суммы (60.23).
Другими словами, каждое из слагаемых гармонических сил в (60.23)
действует на линейный осциллятор независимо. Это действие уже изучено.
Полное колебание слагается из суммы колебаний, вызываемых отдельными
гармоническими силами в (60.23).
Наиболее сильное влияние на осциллятор оказывают те члены суммы (60.23),
частоты которых лежат вблизи резонансной частоты, т. е. у которых п<а
со0. Если таких частот нет, то периодическая сила FJ (t) не вызывает
сильного роста амплитуды колебаний осциллятора. Если же такие частоты
есть, то наблюдается явление резонанса. Резонансная амплитуда, ширина
резонансной линии и сдвиг фаз находятся по рассмотренным выше формулам.
Абсолютное значение резонансной амплитуды зависит от коэффициентов ап и
Ьп в соответствующих членах суммы (60.23). Если эти члены очень малы, то
рост резонансной амплитуды даже в сотни раз не приведет к существенному
увеличению суммарной амплитуды
(60.23)
378
Глава 13. КОЛЕБАНИЯ
колебаний. В этом случае резонансные члены в (60.23) не имеют значения.
Если же коэффициенты ап и Ъп в резонансных членах не очень малы, то
соответствующие резонансные амплитуды играют определяющую роль в
характере действия силы F0f (t) на осциллятор.
Как уже было отмечено, большинство физических систем при малом отклонении
от положения равновесия ведут себя как линейные осцилляторы. Например,
вершины строительных конструкций (башен, домов), мосты разных конструкций
и т. д. колеблются как линейные осцилляторы. Вращающиеся валы машины
испытывают крутильные колебания, которые также являются колебаниями
линейного осциллятора (угловое ускорение а при отклонении от положения
