Механика и теория относительности - Матвеев А.Н.
ISBN 5-329-007242-9
Скачать (прямая ссылка):
59. Затухающие колебания
369
отклоненного положения медленно опускается к среднему положению. Это
движение ни в каком смысле не напоминает колебание.
Расчет затухания исходя из потерь энергии на трение. Как уже было
отмечено, энергия колебаний осциллятора расходуется на преодоление сил
трения и вследствие этого уменьшается. Поэтому закон уменьшения амплитуды
можно найти, исходя непосредственно из работы сил трения. Работа сил
трения за один период колебаний равна
т
№ =
-5
- Ъ \ V2 sin2 о-it dt =
bV2
dt =
T, (59.20)
где учтено, что рассматривается случаи малого затухания, так что в
течение одного периода можно пренебречь в первом приближении изменением
амплитуды V колебаний скорости. С другой стороны, потеря энергии на
совершение работы против сил трения за один период есть разность
кинетических энергий частицы через один период, равная
АИ7 = "
^y(K1-F2)(F1 + P2)^'-|2PAF, (59.21)
тп
где принята во внимание малость уменьшения амплитуды за один период
колебаний. Приравнивая правые части соотношений (58.21) и (58.20),
получаем
I -ГГ ГП 1/ /11/ М 11 ----- ^
- mV AF или^Е = -^7. (59.22)
144.
Случай трения
Практически
Met
очень большого
никаких колебаний
I
Обратной величина логарифмического декремента затухания равна числу
периодов, в течение которых амплитуда затухает в е раз. Чем больше
логарифмический декремент, тем сильнее затухание колебаний.
Период Т при слабом затухании является малым промежутком времени в
сравнении с тем, когда затухание заметно. В течение времени Т изменение
амплитуды скорости колебаний AF мало. Поэтому в (59.22) можно считать,
что (A V/T) " dV/dt, и тогда
Какие важные особенности затухания колебаний характеризуются декрементом
затухания!
При каком условии затухающее колебание вырождается в экспоненциальное
уменьшение отклонения от положения равновесия без какого-либо
колебательного движения!
370
Глава 13. КОЛЕБАНИЯ
получаем уравнение для изменения амплитуды скорости колебаний со
временем:
~=-yV. (59.23)
где учтено, что (Ы2т) - уесть декремент затухания. Хорошо известно, что
решение уравнения (59.23) имеет вид
V = V0e-vt. (59.24)
Это затухание амплитуды скорости полностью соответствует затуханию
амплитуды смещения, которое дается формулой (59.10), выведенной при
строгом решении уравнений движения. Поэтому проведенный расчет
показывает, что энергия осциллятора действительно расходуется на
преодоление сил трения.
60. Вынужденные колебания. Резонанс
Внешняя сила. Наряду с трением на линейный осциллятор может действовать
какая-либо другая внешняя сила. Характер движения линейного осциллятора
при этом изменится в зависимости от особенностей действующей силы.
Наиболее важным является случай гармонической внешней силы. В дальнейшем
будет показано, что более сложные случаи изменения внешней силы со
временем сводятся к этому простейшему. Поэтому будем считать, что внешняя
сила действует на линейный осциллятор по следующему закону:
F - F0cos со/, (60.1)
где F0 - амплитуда силы, (о - ее частота.
Уравнение движения. Вместо (59.2) движение описывается следующим
уравнением:
тх --kx - bx-j-F0 cos (о(. (60.2)
Разделив обе части на т, получим уравнение в виде, аналогичном
(59.2):
х-\-2yx-\-ialx - (F0/m) coscat, (60.3)
где величины у и ю0 имеют те же значения, что и в (59.2).
Переходный режим. Если считать, что внешняя периодическая сила начала
действовать на линейный осциллятор в некоторый момент времени, то его
движение в течение определенного промежутка времени зависит от движения в
момент начала действия силы. Однако с течением времени влияние начальных
условий ослабевает и движение осциллятора переходит в режим
установившихся гармонических колебаний. Каковы бы ни были условия в
момент начала действия внешней силы, после некоторого промежутка времени
осциллятор будет совершать одни и те же установившиеся гармо-
60. Вынужденные колебания. Резонанс
371
нические колебания. Процесс установления колебаний называется переходным
режимом.
При рассмотрении переходного режима самым важным является вопрос о его
продолжительности. Она определяется временем затухания колебаний, которые
имелись в момент начала действия внешней силы. Это время нам известно -
оно равно т = 1/у. Это есть тот промежуток времени, после которого можно
забыть о первоначально существовавших колебаниях и рассматривать 'только
установившиеся под действием внешней силы колебания. С другой стороны,
если начальных колебаний не было, то вынужденные колебания не мгновенно
достигнут своей стационарной величины. Можно показать, что время
установления стационарного режима вынужденных колебаний после начала
действия силы также равно т = 1/у.
Установившиеся вынужденные колебания. В этом случае надо считать, что
сила F0 cos начала действовать очень давно, т. е. в бесконечно далекий
прошедший момент времени. Таким образом, принимаем, что уравнение (60.3)
справедливо для всех моментов времени. Для его решения опять удобно
