Механика и теория относительности - Матвеев А.Н.
ISBN 5-329-007242-9
Скачать (прямая ссылка):
стремятся восстановить нулевое значение заряда на конденсаторе, то
уравнение для малых отклонений заряда от нуля имеет вид (57.2).
Уравнение вида (57.2) называется уравнением гармонических колебаний, а
система, осуществляющая эти малые колебания, называется линейным, или
гармоническим, осциллятором. Хорошо известным примером такой системы
может служить тело на упругой пружине (рис. 133, в). По закону Гука, при
растяжении или сжатии пружины возникает противодействующая сила,
пропорциональная растяжению или сжатию, т. е. выражение для силы со
стороны пружины имеет вид / = - кх, и мы приходим к уравнению линейного
осциллятора. Таким образом, тело, колеблющееся на пружине, является
моделью линейного осциллятора.
(57.2)
57. Гармонические колебания
351
Если в разложении для силы наряду с членом, пропорциональным первой
степени отклонения, сохранить также и член, пропорциональный хг или х3,
приводящий к нелинейности колебаний, то получающаяся при этом
колебательная система называется ангармоническим осциллятором. Ее
основные особенности будут рассмотрены в § 58.
Однако, как было показано, почти все физические системы при достаточно
малых отклонениях ведут себя как линейные осцилляторы. Это связано с
математической возможностью разложения силы в ряд по формуле (57.1).
Спрашивается, в чем же тогда состоит физическое содержание закона Гука?
Оно сотоит не в том, что сила пропорциональна отклонению, а в том, что
этот закон силы справедлив в большой области отклонений. Иначе говоря,
физическое содержание закона Гука состоит в утверждении, что в формальном
математическом разложении (57.1) линейный член xf (0) играет главную роль
не только при очень малых величинах ж, но и при достаточно больших.
Другим примером линейного осциллятора являются физический и
математический маятники при достаточно малых углах отклонения, которые
были рассмотрены в § 51. В качестве модели линейного осциллятора можно
взять либо грузик на пружине (рис. 133, в), либо маятник.
Тот факт, что большинство физических систем при малых отклонениях ведут
себя как линейные осцилляторы, обусловливает чрезвычайно большую важность
изучения его движения для всех областей физики.
Уравнение гармонических колебаний. Уравнение (57.2) движения линейного
осциллятора удобно представить в таком виде:
(57.3)
где о)2 = к/т > 0. Производные по времени обозначаются точками.
Гармонические функции. Непосредственной проверкой убеждаемся, что
решением уравнения (57.3) являются sin Ы и cos сat. Это уравнение
является линейным. Сумма решений линейного уравнения и произведение
какого-либо решения на произвольную постоянную величину также составляет
решение. Поэтому общее решение уравнения (57.3) имеет вид
х (г) = Ay sin (at + А2 cos at, (57.4)
где Аг и А2 - постоянные. Функция такого вида называется гармонической.
352
Глава 13. КОЛЕБАНИЯ
Амплитуда, частота, фаза. Выражение (57.4) целесообразно преобразовать к
другому виду:
sin <ot + Л2 cos (at = А\-f- / -у-1 sin wf + Лг ¦¦ ¦¦ cos tof \ =
\У А*+А% УА*+А% /
= A (cos <р sin (at -f-sin ф cos to/) = A sin (to/ -f- ф), (57.5)
где положено cos ф = Aj/У A\-\-A\, sin ф = A2f\f A\ -f- A§, и введено
обозначение A -VA\Ar А*. Таким образом, уравнение гармонических колебаний
(57.4) может быть представлено в виде
х - A sin (со* + ф)
или
х - В cos (ш^ + фО-
(57.6)
График этой функции с обозначением входящих в (57.6) величин показан на
рис. 134. Величина А называется амплитудой, (о - частотой гармонического
колебания, а величина, стоящая в аргументе синуса (или косинуса), cat + ф
- фазой колебания. Значение фазы ф при t - 0 называют начальной фазой или
просто фазой. Как видно из (57.6), величина х повторяется через
промежутки времени Т = 2зх/ш. Такая функция называется периодической, а Т
- ее периодом. Поэтому гармонические колебания являются периодическими.
Однако, конечно, не всякая периодическая функция является гармонической.
Гармонической она будет лишь тогда, когда ее можно представить в виде
(57.6) с определенными частотой, фазой и амплитудой.
Представление гармонических колебаний в комплексной форме. При изучении
гармонических колебаний приходится их складывать, разлагать на
составляющие, решать более сложные, чем (57.3), уравнения и т. д. Все это
значительно упрощается, если воспользоваться теорией комплексных чисел и
представлением гармонических колебаний в комплексной форме.
В декартовой системе координат действительная часть комплексного числа
откладывается по оси абсцисс, а мнимая - по оси ординат (рис. 135). Далее
используем формулу Эйлера
eia = cosa + i sin а (г2 = -1),
(57.7)
которая дает возможность выразить любое комплексное число z = х + iy в
экспоненциальной форме (рис. 135):
z - peia, р = V х* +у*, tga = у/х.
(57.8)
Величина р называется модулем комплексного числа, a - фазой.
57. Гармонические колебания
353
Каждое комплексное число z может быть представлено на комплексной
плоскости в виде вектора, проведенного из начала координат в точку с
