Механика и теория относительности - Матвеев А.Н.
ISBN 5-329-007242-9
Скачать (прямая ссылка):
Ао реа = ~ 2^- ¦ (60*15)
Физический смысл этого результата заключается в следующем. Член,
связанный с ускорением, равен члену, обусловленному упругой Силой, т. е.
х - - со2х = - соах. Это означает, что ускорение
374
Глава 13. КОЛЕБАНИЯ
создается силой упругости, а внешняя сила и сила треиия взаимно
компенсируются. Уравнение (60.3) имеет вид
2yx = (F0/m)cosu0t, (60.16)
и его решение записывается следующим образом: х - (F0/2ynm0) sin оз0/.
(60.16а)
Строго говоря, максимум амплитуды достигается не точно при со = со0, а
вблизи этого значения. Точное значение может быть найдено по общему
правилу путем приравнивания производной от А0 в (60.8а) по со нулю.
Однако при не очень большом трении, когда Y "о, смещение максимума от со
- со0 весьма незначительно и не имеет смысла принимать его во внимание.
Добротность. Важной характеристикой свойств осциллятора является рост
амплитуды его колебаний в резонансе в сравнении со статическим ее
значением, т. е. со смещением под действием постоянной силы. Из формул
(60.11) и (60.15) следует:
О - -^орез ОЗо 2л л
V ¦Ад стат 2у СО 1 Еч ?*• 1
(60.17)
где 0 - логарифмический декремент затухания. Величина Q называется
добротностью системы. Добротность является важнейшей характеристикой
резонансных свойств системы.
Из формулы (60.17) видно, что чем меньше затухание осциллятора, тем более
энергично он раскачивается в резонансе, поскольку Л0 Рез = А0 статQ = А0
стат (л/е), как видно из (60.17).
Важной характеристикой резонансных свойств является не только увеличение
амплитуды в резонансе, но и интенсивность этого увеличения. Другими
словами, важно не только значение резонансной амплитуды, но и насколько
энергично уменьшается эта амплитуда при отклонении от резонансной
частоты. Это свойство характеризуется понятием полуширины резонансной
кривой. Однако эта величина определяется не относительно амплитуды
колебаний, а относительно квадрата амплитуды. Это связано с тем, что
такая важнейшая характеристика линейного осциллятора, как энергия, дается
не амплитудой смещения, а ее квадратом. Вид резонансной кривой квадрата
амплитуды аналогичен рис. 145. Эта кривая изображена на рис. 146 вместе с
указанием полуширины резонансной кривой: полушириной резонансной кривой
называется расотояние в частотах Доз от частоты резонанса (оз = оз0) до
той частоты, где квадрат амплитуды убывает в 2 раза. Нетрудно вычислить
эту полуширину.
60. Вынужденные колебания. Резонанс
375
Вблизи резонанса со = со0 можно считать
0 \т) и-
(Fn
1
¦ со2)2 + 4у2со2 1
т j ((о0 - о)2 (ю0 + и)2 + 4у2со2 F0V 1
т / 4м2 (Асо)2 -f 4y2(og '
(60.18)
где учтены частоты, близкие к резонансной, когда Дсо со0, со " со0.
Поскольку в резонансе А\ рез = (F0/m)2/4y2coo, условие уменьшения
амплитуды в два раза в сравнении с резонансным принимает вид
1
1
2 4у2со2
4со2 (Асо)2 + 4у2со2
(60.19)
и, следовательно, для полуширины резонансной кривой находим
Дсо = у,
(60.20)
т. е.
полуширина равна декременту затухания: чем меньше затухание, тем меньше
ширина и острее резонансная кривая.
Более удобно формулу (60.20) выразить через логарифмический декремент
затухания и добротность. Разделим обе части (60.20) на со0 и учтем
(60.17):
Асо
со0
или
X
соп
уТ_
2я
JL.1
2 Q •
2 Дсо = (Oo/Q.
(60.21)
(60.22)
146.
Резонансная кривая квадрата амплитуды
По ней определяется ширине резонанса Асо/2
Если затухание мало, то что происходит с фазой вблизи резонанса! Как
ведет себя фаза при несколько большем затухании!
Таким образом, ширина 2Дсо резонансной кривой равна частоте резонанса,
деленной на добротность.
При увеличении добротности возрастает резонансная амплитуда и уменьшается
ширина резонансного максимума. Однако, как это следует из (60.17) и
сказанного выше о переходном режиме, с увеличением
I
Добротность, равная обратной величине логарифмического декремента
затухания, умнотен-ной на п, характеризует интенсивность "раскачки"
колебаний в резонансе и его остроту. Добротность показывает, во сколько
раз амплитуда в резонансе больше амплитуды статического отклонения при
одной и той те амплитуде силы.
Ширина резонансной кривой определяется относительно не амплитуды
колебания, а квадрата амплитуды.
376
Глава 13. КОЛЕБАНИЯ
Фазовая резонансная кривая
При малом затухании в очень малом интервале частот вблизи резонансной
фаза быстро меняется от значений, близких к нулю, до значений, близких к
Л, т. е. на резонансной частоте происходит "переворот" фазы
I
Ускорение всегда отстает по фазе от сипы и тем больше, чем больше ее
частота. При резонансе отставание равно п/2.
При каком условии анализ воздействия на систему периодической, но не
гармонической, силы сводится к простому
применению результатов анализа для
гармонической силы! Чем в принципе определяется характер воздействия на
систему непериодической силы!
добротности возрастает время установления вынужденных колебаний.
Фазовая резонансная кривая. Другой важной характеристикой вынужденных
