Механика и теория относительности - Матвеев А.Н.
ISBN 5-329-007242-9
Скачать (прямая ссылка):
значение амплитуды получается при ф2 - фх = ± я. В этом случае
комплексные векторы, представляющие слагаемые колебания, направлены
противоположно и поэтому минимальная амплитуда равна \ Аъ - Ал |.
Поведение фазы ф также наглядно прослеживается на векторной диаграмме
рис. 137. Таким образом, суммой гармонических колебаний с одинаковой
частотой является гармоническое колебание с той же частотой, амплитудой и
фазой, определяемыми формулами (57.13а) и (57.136).
Сложение гармонических колебаний с близкими частотами. Биения. Обозначим
частоты слагаемых колебаний через tOj и со2 и будем считать, что а"! " со
I - а>2 1 < о),, ; баний имеют вид:
х1 = А1 cos (со^ + фх),
Х2 = А2 cos (оУ + ф2).
2>
о)2. Уравнения коле-
(57.15)
Каждое из колебаний (57.15) представляем в комплексной форме (57.10), а
сложение будем проводить по правилу сложения векторов, откладывая начало
второго вектора от конца первого. Чтобы не усложнять написания формул,
колебание х в комплексной форме (57.10) будет обозначаться той же буквой
х, что и соответствующее ему вещественное колебание (57.6). Это не может
вызвать недоразумений. Пусть для определенности Аг > Аг. Тогда сумма
векторов и я2 в некоторый момент времени может быть представлена так, как
изображено на рис. 138. С течением времени эта картина будет изменяться
следующим образом: вектор хг вращается вокруг начала координат с угловой
частотой ОЦ, а вектор х2 - относительно положения вектора х± вокруг его
конца с частотой со2 - Если
57. Гармонические колебания
357
(c)2 > (c)ь то его вращение вокруг конца вектора хг будет происходить в том
же направлении, что и вращение вектора вокруг начала координат, как это
изображено на рис. 138. При (c)2 < (c)х относительное вращение х2 изменяется
на обратное.
Изменение этой картины со временем состоит в следующем: поскольку
I <°2-(c)! | (c)х (о2 я" со, то вся картина быстро вращается вокруг начала
координат, причем за один оборот взаимное расположение векторов zi и хг
меняется совершенно, незначительно. Поэтому в течение большого числа
периодов это есть гармоническое колебание с частотой (c) и амплитудой,
равной амплитуде х\ + хг- Однако, хотя и медленно, относительная
ориентировка векторов ху и х% меняется. Поэтому амплитуда колебания
медленно меняется с частотой | (c)2 - "1 | от Ах + А2 до | Ах-А21. В итоге
получаем, что суммой двух гармонических колебаний с близкими частотами
является колебание с изменяющейся амплитудой. Оно лишь приблизительно
139.
Биения при сложении колебаний с близкими частотами
Период биений T-2Я/|Ю*-<D| |
140.
Биения звука от камертонов
Многогранная зеркальная призма* •ращаясь, осуществляет разаертку
колеблющегося луча на- нелодаиж* ный экран
358
Глава 13. КОЛЕБАНИЯ
гармоническое с частотой сох со2 со, а его амплитуда изменяется по
гармоническому закону с частотой | со2 - <*>i I от максимального значения
Аг -f Аг до минимального Аг - А2. Вещественные составляющие этого
колебания имеют вид, изображенный на рис. 139. Колебания амплитуды с
частотой Q = | со2 - coj | называются биениями, а частота Q - частотой
биений. Биения возникают при сложении двух гармонических колебаний с
близкими частотами. Если амплитуды слагаемых колебаний примерно равны А г
" А2, то в минимуме амплитуда суммарного колебания почти равна нулю, т.
е. это колебание почти полностью прекращается.
Если два камертона заставить звучать с близкими частотами (рис. 140), то
в результате сложения колебаний громкость звука, обусловленная амплитудой
суммарного колебания, периодически меняется с частотой биений. Высота же
звука, определяемая частотой суммарного колебания, не изменяется
существенно, поскольку она близка к частотам складываемых колебаний,
которые почти равны друг другу.
58. Собственные колебания
Определение. Собственными называются колебания системы под действием лишь
внутренних сил без внешних воздействий Рассмотренные в предыдущем
параграфе гармонические колебания являются собственными колебаниями
линейного осциллятора. В принципе собственные колебания могут быть и
негармоническими. Но при достаточно малых отклонениях от положения
равновесия в очень многих практически важных случаях они, как это было
разобрано выше, сводятся к гармоническим.
Начальные условия. Гармоническое колебание полностью характеризуется
частотой, амплитудой и начальной фазой. Частота зависит от физических
свойств системы. Например, в случае линейного осциллятора в виде
материальной точки, колеблющейся под действием упругих сил пружины,
свойства упругости пружины учитываются коэффициентом упругости к, а
свойства точки - ее массой т\ ш = к/т.
Для определения амплитуды и начальной фазы колебаний надо знать положение
и скорость материальной точки в некоторый момент времени. Если уравнение
колебания выражается в виде
а координата и скорость в момент t - 0 равны соответственно х0 и v0, то
на основании (58.1) можно написать:
х = A cos (cof -f ф),
(58.1)
