Механика и теория относительности - Матвеев А.Н.
ISBN 5-329-007242-9
Скачать (прямая ссылка):
происходит так, как если бы
380
Глава 13. КОЛЕБАНИЯ
они существовали бесконечно, т. е. можно считать, что сила является
строго периодической.
Под непериодической силой понимается такая, в пределах времени
существования которой невозможно установить какое-то периодическое
изменение. Результат ее воздействия может быть выяснен с помощью только
что изложенных соображений. Пусть продолжительность Т действия силы
значительно больше времени т установления колебаний в системе. Тогда по
истечении т в системе установится некоторый стационарный режим, в котором
не произойдет каких-либо существенных изменений в последующий промежуток
времени Т - т. Поэтому естественно рассматривать процесс как
периодический с периодом Т. Представим эту силу в виде (60.23). Очевидно,
что составляющие силы, соответствующие членам п 1, за время Т успевают
сделать много колебаний, причем стационарный режим для них
устанавливается в течение времени нескольких первых колебаний. Поэтому
для этих составляющих полностью применимы все выводы о действии
периодической силы. Если частоты попадают в резонансную область, то
амплитуда соответствующих колебаний сильно возрастает. Ввиду того, что в
этом случае может быть (r) ^ "о (ю = 2л/2"), вблизи резонансного значения
пto = о)0 могут находиться частоты многих членов (60.23). Соответствующие
почти резонансные колебания складываются друг с другом. С другой стороны,
в этом случае первые члены суммы (60.23) с п =0, 1,2, ... имеют частоты,
много меньшие резонансной. Для таких частот справедливо уравнение
(60.12), когда отклонение как бы мгновенно следует за силой. Таким
образом, если непериодическая сила существует много дольше времени
установления колебаний и периода резонансных колебаний, то процесс
рассматривается совершенно аналогично случаю периодической силы. Строго
говоря, при таком подходе будет допущена некоторая ошибка, потому что в
начале и конце действия силы состояние движения осциллятора не будет
полностью одинаковым. Поэтому к периоду Т следовало бы добавить время
затухания т, чтобы второй "воображаемый период" начался так же, как и
первый, когда колебания до начала действия силы отсутствуют. Но т Т, и
это уточнение больших изменений не несет. С математической точки зрения
для более строгого решения задачи следует перейти к непрерывному спектру,
а именно считать, что период действия силы Т -*¦ со. Тогда вместо
выражения силы в виде (60.23) как суммы по частотам ее можно представить
в виде интеграла по частотам:
ОО
F0f (/) = 5 (af>cos 4* К sin oat) dw,
о
который известен как интеграл Фурье. В этом случае частоты принимают не
дискретные, а всевозможные непрерывно изменяющиеся
(60.24)
61. Автоколебания и параметрические колебания
381
значения. Величины аы и Ьа характеризуют амплитуды силы и называются
плотностью амплитуд. Величина aadо> есть суммарная амплитуда тех
составляющих силы, изменяющихся по закону cos о>?, частоты которых лежат
между со и (о> 4- dco). Аналогичный смысл имеет величина bad(s>,
связанная с колебаниями по закону sin соt. Вынужденные колебания в своем
составе также содержат всевозможные частоты, плотности амплитуд которых
соответствующим образом связаны с плотностью амплитуд силы тех же частот.
Компоненты силы с частотами, лежащими в области резонанса, вызывают
сильное увеличение амплитуд смещения. Физическое содержание явлений при
непрерывном спектре не отличается существенно от случая дискретного
спектра.
Если время действия Т внешней силы меньше, чем время установления
вынужденных колебаний т = 1/у, то представления, основанные на картине
установившихся вынужденных колебаний, применять нельзя. В этом случае
необходимо исследовать движение осциллятора в переходном режиме.
Резонанс при нелинейных колебаниях. Важнейшей особенностью вынужденных
нелинейных колебаний являются резонансы на комбинационных частотах. Как
было отмечено в § 58, в нелинейных колебаниях наряду с основной частотой
со0 присутствуют высшие гармоники с частотами п о>0. Под действием
внешней гармонической силы с частотой со резонанс наступает не только на
основной частоте, когда со *=" со0, но и на частотах высших гармоник,
когда со ^ нсо0. В спектре произвольной периодической силы наряду с
основной частотой со присутствуют высшие гармоники с частотами mсо.
Поэтому резонанс может наступить при частотах, удовлетворяющих условию
тсо = = п(о0, т. е. при различных комбинациях основных частот. Конечно,
роль того или иного резонанса зависит от его амплитуды, а последняя
зависит от характеристик как нелинейной системы, так и силы. Если
амплитуда мала, то резонанс нет необходимости принимать во внимание.
61. Автоколебания и параметрические колебания
Определение. Из-за потери энергии на трение собственные колебания
постепенно затухают. Если к осциллятору подводить энергию от источника
внешней гармонической силы, то он начнет колебаться с частотой этой силы,
которая, вообще говоря, отличается от собственной частоты осциллятора.
