Механика и теория относительности - Матвеев А.Н.
ISBN 5-329-007242-9
Скачать (прямая ссылка):
а:о = ЛсоБф; x0 = v0 = 0 = -Лео sin ф.
(58.2)
58. Собственные колебания
359
Из этих двух уравнений вычисляют неизвестные амплитуды и начальная фаза:
А = Ух\-\- По/w2, tg ф = - v0/x0со. (58.3)
Таким образом, зная начальные условия, можно полностью найти
гармоническое колебание.
Энергия. Представление о потенциальной энергии имеет смысл только тогда,
когда силы потенциальны. В одномерных движениях между двумя точками
существует только единственный путь. Следовательно, автоматически
обеспечиваются условия потенциальности силы и всякую силу можно
рассматривать как потенциальную, если она зависит только от координат.
Последняя оговорка весьма существенна. Например, сила трения не является
потенциальной силой также и в одномерном случае. Это обусловлено тем, что
эта сила (ее направление) зависит от скорости (направления скорости).
В случае линейного осциллятора удобно считать, что потенциальная энергия
точки равна нулю в положении равновесия (в начале координат). Тогда,
учитывая, что F - -кх, и принимая во внимание формулу (27.20),
связывающую потенциальную энергию U и силу, сразу находим для
потенциальной энергии линейного осциллятора следующее выражение:
U (х) = кх2/2 = тсд2х2/2, а закон сохранения энергии имеет вид
= const. (58.5)
Конечно, этот закон можно получить непосредственно из уравнения движения
(57.2), если его обе части умножить на х и затем поступить так же, как
при переходе от (27.1) к (27.5).
Из закона сохранения энергии (58.5) можно сделать два важных заключения.
1. Максимальная кинетическая энергия осциллятора равна его максимальной
"потенциальной энергии. Это очевидно, поскольку максимальную
потенциальную энергию осциллятор имеет при смещении колеблющейся точки в
крайнее положение, когда ее скорость (а следовательно, и кинетическая
энергия) равна нулю. Максимальной кинетической энергией осциллятор
обладает в момент прохода точки равновесного положения (х - 0), когда
потенциальная энергия равна нулю. Поэтому, обозначая максимальную
скорость через V, можем написать
l/2mV2 = 1/2тш2А2. (58.6)
2. Средняя кинетическая энергия осциллятора равна его средней
потенциальной энергии.
(58.4)
360
Глава 13. КОЛЕБАНИЯ
4/W
Определение среднего по времени
Знаете пм Вы соотношение между кинетической и потенциальной энергиями в
гармонических колебаниях!
Как между собой связаны амплитуды скорости и отклонения в гармоническом
колебании!
Что происходит с частотой собственных колебаний при увеличении массы
колеблющейся точки!
Прежде всего надо определить, что такое средняя величина. Если некоторая
рассматриваемая величина / зависит от времени, т. е. является функцией
времени, то среднее значение этой величины в промежутке времени между
моментами tx и /2 дается формулой
dt.
(58.7)
Если / (/) представить на графике (рис. 141), то среднее значение (J)t
соответствует высоте прямоугольника, площадь которого равна площади между
кривой / (t) и осью t на интервале между /х и /2. Напомним, что площадь
под осью t считается отрицательной.
Поскольку закон движения для линейного осциллятора описывается формулой
х (t) = A cos (со/ -f ф), (58.8)
его скорость равна х = - Аа> sin (со/ -f ф),
(58.9)
выражения для потенциальной и кинетической энергий имеют следующий вид:
тхт и\ тх% та?А2 ч
w {t) = = -К- sm2 (со/ 4- ф),
U (t)
2
пт2 А'1
cos2 (со/ ф).
(58.10)
cot
142.
Графики смещения, скорости и ускорения при гармоническом колебании
В качестве промежутка времени, на котором определяется среднее, берется
период одного колебания. Вычисление средних значений (VP) и (U) сводится
к нахождению средних значений от cos2 (со/ 4- ф) и sin2 (со/ 4" ф)- Оно
элементарно:
т
(cos2 (со/ -f ф)>( = ??г ^ cos2 (со/ -f ф) dt =
Ь
т
= у- ^ у [1 - cos 2 (со/ 4- ф)] dt =
[/ 4~ 2^ s*a 2 (со/ 4~ ф)]д = у, (58.11)
6
1 1
2 Т
58. Собственные колебания
361
где Т - период колебания, ыТ = 2л. Аналогично получим (sin2 (со*-}-ф))^-
^. (58.12)
Формулы (58.11) и (58.12) являются важными, и их следует хорошо помнить.
С учетом (58.11), (58.12) из (58.10) следует
(58.13)
т. е. средняя кинетическая энергия осциллятора равна средней
потенциальной. У знака среднего в (58.13) подставлен индекс *, чтобы
подчеркнуть, что речь идет о среднем по времени.
Когда говорится о среднем значении величины, всегда должно быть ясно, об
усреднении по какой переменной идет речь, потому что при усредпении по
некоторой другой переменной, вообще говоря, получается совсем другой
результат. Однако в большинстве случаев ясно, по какой переменной
производится усреднение, и никакого индекса у знака усреднения не
ставится.
Соотношение между смещением, скоростью и ускорением. Отклонение и
скорость даются формулами (58.8) и (58.9), а ускорение равно
х - - Лю2 cos (со*-}- ф). (58.14)
Изобразим их графики на одном и том же чертеже (рис. 142). По оси ординат
откладываются величины различных размерностей. Поэтому выбором масштаба
амплитуды соответствующих колебаний всегда можно сделать равными, как это
