Механика и теория относительности - Матвеев А.Н.
ISBN 5-329-007242-9
Скачать (прямая ссылка):
Следовательно, наиболее быстрый разгон и торможение возможны лишь при
отсутствии проскальзывания колес. Опытный водитель всегда чувствует
состояние сцепления колес с дорогой и никогда не допускает
проскальзывания колес.
КОЛЕБАНИЯ
Глава 13
Колебания являются наиболее общей формой движения динамических систем
вблизи положения равновесия. При достаточно малых отклонениях от
положения равновесия колебания бывают обычно гармоническими.
Этим определяется их особая важность.
систем
57. Гармонические колебания
Роль гармонических колебаний в природе. Многие физические вопросы
сводятся к исследованию поведения системы при небольших отклонениях от
равновесного состояния, в котором она пребывает. Например, на дне
шарообразной чаши покоится шарик (рис. 133, а).
Спрашивается, каким будет его движение вдоль оси х после отклонения в
некоторое положение от средней точки? Для ответа надо знать компоненту
силы, действующей на шарик, когда он находится в точке с координатой х,
т. е. f (х), и решить уравнение движения тх = / (х). Однако даже в этом
простейшем случае зависимость силы / от расстояния довольно сложная и
решение уравнения может составить значительные трудности. Но зачастую,
даже если такое решение и удалось получить, оно оказывается настолько
сложным, что очень трудно его проанализировать. В качестве другого
примера возьмем шарик, укрепленный на длинной упругой пластине
57. Гармонические колебания
58. Собственные колебания
59. Затухающие колебания
60. Вынужденные колебания. Резонанс
61. Автоколебания
и параметрические колебания
62. Колебания связанных
57. Гармонические колебания
349
(рис. 133, б). В положении равновесия пластина несколько изогнута и шарик
покоится в некоторой точке. Спрашивается, как будет двигаться шарик в
вертикальном направлении, если его отклонить от положения равновесия и
отпустить? В этом случае сила, действующая на шарик, также выражается
сложной функцией его отклонения от положения равновесия в вертикальном
направлении и при решении задачи встречаются те же трудности, которые
упомянуты в первом примере.
Однако в большинстве практически важных случаев нас интересует поведение
системы не при всевозможных отклонениях от положения равновесия, а лишь
при малых отклонениях. При этом условии вопрос значительно упрощается.
Каким бы сложным ни был закон действия / (х), эту функцию можно
представить в виде ряда Тейлора:
3!
(57.1)
Это чисто математическое утверждение, и условия возможности такого
разложения функции в ряд рассматриваются в математике. Нам достаточно
заметить, что законы действия сил / (х), встречающихся в физике, обычно
удовлетворяют этим условиям. Очевидно, / (0) = 0 ввиду того, что точка х
= 0 является точкой равновесия и, следовательно, сила в этой точке равна
нулю. Далее возможны два случая: либо /' (0) Ф 0, либо /' (0) = = 0. В
первом случае член xf (0) является главным членом разложения (57.1). Все
последующие члены ряда пропорциональны х2, х3 и т. д. и при достаточно
малом х сколь угодно малы в сравнении с первым членом. Поэтому при
анализе достаточно малых отклонений х силу можно считать равной xf (0).
Поскольку
в)
133.
Колебание различных систем при малых отклонениях
350
Глава 13. КОЛЕБАНИЯ
точка ж = 0 - точка равновесия, сила xf (0) должна быть направлена всегда
к точке х = 0. Это означает, что /' (0) <С 0. Если /' (0) = = 0, то надо
обратиться к третьему члену, пропорциональному ж2. Он должен быть равным
нулю, если точка х = 0 является равновесной точкой. Это следует из того
обстоятельства, что этот член имеет один и тот же знак как при
положительных, так и отрицательных значениях х. Поэтому сила,
представляемая им, при отклонении точки в одну сторону от положения
равновесия стремится ее возвратить обратно, но при отклонении в другую
сторону, наоборот, стремится ее удалить от этого положения.
Следовательно, если бы этот член не был равен нулю, точка х = 0 не могла
бы быть точкой равновесия. Поэтому этот член должен быть равным нулю, т.
е.
/"(0) = 0.
Таким образом, следующим не равным нулю членом может быть ж3 (0)/3!. При
анализе малых отклонений в случае /' (0) = 0 его необходимо использовать
в качестве выражения для силы. Хотя он несколько сложнее члена xf (0), но
все же достаточно прост в сравнении с исходной функцией / (х). В этом
случае колебания значительно усложняются, они становятся нелинейными.
Основные особенности этих колебаний мы рассмотрим позднее.
Обычно в реальных физических системах отличным от нуля бывает член xf
(0), а уравнение движения для малых отклонений ж от положения равновесия
имеет следующий вид:
т (d2x/dt2) - xf (0) = - кх,
где учтено, что f (0) <С 0, и обозначено к = - /' (0) > 0.
Такого рода уравнение получается при рассмотрении многих физических
явлений. В данном примере ж является расстоянием от положения равновесия.
Однако в качестве ж мог бы быть, например, заряд конденсатора,
включенного в цепь с индуктивностью. Если физические факторы таковы, что
