Механика и теория относительности - Матвеев А.Н.
ISBN 5-329-007242-9
Скачать (прямая ссылка):
равновесия пропорционально углу отклонения, т. е. а а). Кроме того, эти
системы часто подвергаются воздействию периодических сил. Например, вал
машины испытывает периодические усилия со стороны поршней в результате
сгорания топлива в цилиндрах, на различные части моста воздействует почти
периодическое изменение давления от последовательности автомашин, идущих
друг за другом более или менее регулярно, периодические шаги пешеходов и
т. д. Чтобы проанализировать результат этих периодических воздействий,
необходимо произвести спектральный анализ сил, т. е. представить силы в
виде (60.23) и посмотреть, с какими амплитудами ап и Ьп в этом разложении
присутствуют различные гармонические составляющие силы. Затем надо
проанализировать, с какими собственными частотами cooi может колебаться
система. Вообще говоря, реальная система обладает не одной собственной
частотой, а несколькими или даже бесконечным числом, т. е. ее при малых
отклонениях не всегда можно представить в виде одного линейного
осциллятора. Может случиться, что при малых отклонениях система ведет
себя как совокупность линейных осцилляторов с различными собственными
частотами. Каждый из них под действием соответствующих гармонических
составляющих силы может начать резонансные колебания. Например, мост
может совершать вертикальные колебания, горизонтальные смещения поперек
своей длины, колебания вдоль своей длины и т. д. Собственные частоты
колебаний различны и у каждого вида колебаний имеется не одна собственная
частота. Все собственные частоты надо принять во внимание при анализе
действия внешней периодической силы. Конструкторская работа частично
состоит в том, чтобы избежать резонансного действия внешних сил на
систему. Не менее важной задачей в других случаях является обеспечение
резонансного воздействия внешних сил на систему. Например, в радиотехнике
при приеме радиосигналов необходимо добиться их резонансного воздействия
на колебательные контуры радиоприемника. В обоих случаях задача сводится
к исследованию вынужденных колебаний линейного осциллятора под действием
внешней периодической силы.
60. Вынужденные колебания. Резонанс
379
Следует также принять во внимание возможную связь различных линейных
осцилляторов друг с другом. Это будет сделано при рассмотрении колебаний
связанных систем.
Важное свойство гармонических функций. При анализе вынужденных колебаний
под действием гармонической силы было установлено, что смещение
описывается гармонической функцией, сдвинутой по фазе относительно силы.
Таким образом, зависимость силы от времени без искажения превращается в
такую же зависимость смещения линейного осциллятора от времени. Однако
если сила не гармоническая, а лишь периодическая, выражаемая формулой
(60.23), то зависимость смещения от времени может существенно отличаться
от зависимости силы от времени. Это видно непосредственно из (60.23),
поскольку каждый из членов этой суммы в суммарную амплитуду колебаний
дает вклад, отличающийся друг от друга как ростом соответствующих
амплитуд, так и различными фазами. Поэтому суммарное отклонение не
напоминает, вообще говоря, по форме силу (60.23). Важное свойство
гармонических функций состоит в том, что из всех периодических сил,
действующих на линейный осциллятор, только гармонические силы вызывают
смещение, изменяющееся по тому же закону, что и действующая сила.
Непериодическая сила. Периодическая сила, действие которой на линейный
осциллятор было только что рассмотрено, является идеализированным
представлением, которое в реальных условиях никогда не осуществляется.
Чтобы быть периодической в строгом смысле этого слова, сила должна
действовать периодически в течение бесконечного времени. Если же действие
силы имеет начало и конец, то, строго говоря, она не является
периодической. Тем не менее реальные силы, имеющие периодический характер
и действующие в течение конечного промежутка времени, с успехом можно
рассматривать как периодические. Для этого сила должна действовать
"достаточно продолжительно". Чтобы получить критерий "достаточной
продолжительности", проанализируем гармонические силы.
После начала действия гармонической силы (60.1) для установления
вынужденных стационарных колебаний требуется время т = 1/у. Если
воздействие силы продолжается значительно дольше этого времени и система
совершает достаточно много колебаний, то результат является таким же, как
если бы оно продолжалось бесконечно долгое время. Следовательно, при этом
условии можно считать, что сила является гармонической, и не принимать во
внимание ее ограниченность во времени.
Периодическая сила также имеет начало и конец и в строгом смысле не
является периодической. Однако, аналогично случаю гармонической силы, ее
можно рассматривать как периодическую, если время т установления
вынужденных колебаний много меньше времени действия силы. По истечении
времени т колебания приобретают свой стационарный характер и дело
