Механика и теория относительности - Матвеев А.Н.
ISBN 5-329-007242-9
Скачать (прямая ссылка):
подчеркнуть, что М и dM' являются релятивистскими массами, а скорости v и
и берутся относительно инерциальной системы координат, в которой
рассматривается движение (а не относительно ракеты).
Закон сохранения массы имеет вид
dM + dM' = 0. (46.1)
Очевидно, что dM < 0, поскольку масса ракеты уменьшается. В
момент t полный импульс системы равен Мv, а в момент (t
+ dt) он
выражается формулой (М -f dM)(x ф- dx) -f udM'. Тогда закон сохранения
импульса данной изолированной системы запишется в виде
(М ф- dM) (v ф- dx) ф- u dM' = Му. (46.2)
Отсюда следует равенство
M dx -j- v dM ф- u dM' = 0, (46.3)
причем член dx dM отброшен как бесконечно малый член второго порядка
малости. Принимая во внимание (46.1), получим уравнение движения
(46.4)
46. Нерелятивистские ракеты
291
которое справедливо как в релятивистском, так и нерелятивистском случае.
В случае малых скоростей для их сложения можно воспользоваться формулой
классической механики и представить и в виде
u = u' + v,
(46.5)
где и' - скорость выброшенной массы относительно ракеты. Подставив (46.5)
в (46.4) и продифференцировав левую часть (46.4) по времени, получим
Л/Г dv II \ d
м л" = <и ~v>
(It
dM
dt
(46.6)
Это есть уравнение Мещерского, которое описывает движение ракет с
нерелятивистскими скоростями в отсутствие внешних сил.
Если на ракету действует сила F, то очевидно, что уравнение (46.6) примет
следующий вид:
М
dv
dt
F-f-u'
dM
(It
(46.7)
Обозначим ежесекундный расход топлива через р. Очевидно, что р = - dM
/dt. Поэтому уравнение Мещерского можно также записать в виде
М
dv
dt
= F - pu'.
(46.8)
dm C_Z7-
103.
M'
К выводу уравнения движения ракеты
Если в дне ведра с водой проделать отверстие, то из него вниз вытекает
струя воды. Будет ли на ведро с водой со стороны этой струи действовать
реактивная сила! Объясните ошибочность утвердительного ответа на этот
вопрос.
От каких факторов зависит сила тяги ракетного двигателя! Что такое
характеристическая скорость космического полета!
Величина ри' представляет реактивную силу. Если и' противоположно v, то
ракета ускоряется, а если совпадает с v, то тормозится. При другом
соотношении между ними происходит изменение скорости не только по
абсолютному значению, но и но направлению.
Формула Циолковского. Рассмотрим ускорение ракеты в прямолинейном
движении, считая, что скорость выбрасывае-
Число независимых переменных, характеризующих некоторую систему, должно
быть равно числу степеней свободы этой системы. Поэтому при описании
движения абсолютно твердого тела надо иметь шесть независимых переменных.
Для их определения необходимо иметь шесть независимых уравнений движения.
292
Глава 10. ДИНАМИКА ТЕЛ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ
мых газов относительно ракеты постоянна. Уравнение (46.6) запишется так:
<46-9)
причем знак минус в правой части обусловлен тем, что скорость и' при
ускорении противоположна скорости v. Обозначим через v0 и М0 скорость и
массу ракеты перед началом ускорения. Тогда, переписав уравнение (46.9) в
виде
= _ -ЁЕ- (46.10)
Ми '
и проинтегрировав это равенство, получим \пМ - 1пМ0 - -
(46.11)
Это и есть формула Циолковского, которую удобно представить в одном из
следующих двух видов:
v - v0 = и' In (М0/М),
(46.12а)
(46.126)
Формула Циолковского (46.12а) показывает изменение скорости ракеты, когда
ее масса изменится от М0 до М, а (46.126) дает ответ на вопрос, какова
будет масса ракеты, если ее скорость изменилась от v0 до V. Если ракета
начинает ускоряться из состояния покоя, то v0 = 0.
Наиболее важной проблемой является достижение максимальной скорости при
минимальном расходе топлива, т.е. при минимальной разнице М0 и М. Из
(46.12а) видно, что этого можно достигнуть только увеличением скорости и'
истечения газов. Однако скорости истечения газов ограничены. Рассмотрим,
например, химические топлива. Кинетическая энергия выбрасываемых ракетным
двигателем частиц получается за счет химической энергии, выделяемой в
камере двигателя при сгорании топлива. Если теплотворная способность
топлива Q, а его масса т, то при сгорании выделяется энергия Qm. Считая,
что вся эта энергия превращается в кинетическую энергию выбрасываемых из
сопла частиц, суммарная масса которых т, по закону сохранения энергии
имеем
Qm = mu'"1/2 (46.13)
и, следовательно, скорость выброса равна
46. Нерелятивистские ракеты
293
Однако это сильно завышенное значение, потому что мы не учли, что часть
энергии, образовавшейся при сгорании, теряется на излучение, нагревание
стенок двигателя и т. д. Кроме того, выбрасываемые из ракетного двигателя
частицы не движутся все строго в одном направлении, а расходятся в
пределах некоторого конуса. Это обстоятельство также снижает величину
достижимых значений и'. Поскольку у химических топлив Q имеет величину
нескольких тысяч килокалорий на килограмм, для и' получим значения
порядка нескольких тысяч метров в секунду, т. е. несколько километров в
секунду. Практически при помощи химических топлив достигнуты скорости
