Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Матвеев А.Н. -> "Механика и теория относительности " -> 127

Механика и теория относительности - Матвеев А.Н.

Матвеев А.Н. Механика и теория относительности — М.: ОНИКС, 2003. — 432 c.
ISBN 5-329-007242-9
Скачать (прямая ссылка): mehanikaiteoriyaotnositi2003.djvu
Предыдущая << 1 .. 121 122 123 124 125 126 < 127 > 128 129 130 131 132 133 .. 177 >> Следующая

не совпадающую с центром
304
Глава 11. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Так как Xi = 0, то 12Х = 0. А равенство IZy = 0 было только что доказано,
поскольку 12у = 1уг.
Если круглая пластинка имеет значительную толщину, то она называется
круглым цилиндром. Все изложенные о главных осях пластинки соображения
остаются, конечно, справедливыми и для цилиндра.
В шаре относительно любой его точки главные оси могут быть найдены
следующим образом. Одна из главных осей проходит через центр шара, а две
другие ориентированы произвольным образом в плоскости, перпендикулярной
первой оси. Доказательство того, что данные оси являются главными,
основывается на простых соображениях симметрии, из которых следует, что
центробежные моменты Ixyy Ixz и Другие в этом случае равны нулю.
Центральные главные оси определяются с помощью таких же соображений, но
провести их надо через точку центра масс. В случае бесконечно тонкой
пластинки одна из центральных главных осей перпендикулярна плоскости.
Положение двух других центральных главных осей в плоскости пластинки
зависит от ее формы. Для круглого диска - это любые две взаимно
перпендикулярные оси. У цилиндра центр масс расположен на середине высоты
в центре кругового сечения. Одна центральная главная ось совпадает с осью
цининдра, а две другие ориентированы произвольно в средней круговой
плоскости цилиндра, взаимно перпендикулярно друг другу. В случае шара
любые три взаимно перпендикулярные оси, проведенные через центр шара,
являются его центральными главными осями.
Вычисление момента инерции относительно оси. Для этого используется
формула (49.6). Однако удобнее применить интегрирование, переходя к
непрерывному распределению масс. Пусть плотность тела есть р (х, у, z).
Тогда в элементе объема dV = dxdydz заключена масса рdV. Если вычислять
момент инерции тела относительно оси z, то формула (49.6) принимает
следующий вид:
/"*=$р(*, у, z) (у2 -f х2) dx dy dz
и интеграл распространяется на весь объем тела.
В качестве примера определим момент инерции однородного цилиндра радиуса
R0 и высоты h относительно оси, совпадающей с его осью. Направим ось z
системы координат вдоль оси цилиндра, а начало системы координат (точка
О) поместим на оси в середине высоты (рис. 107). Плотность цилиндра
постоянна, т. е. р = р0 = = const. Интеграл (49.7) записывается так:
(49.7)
/1/2
hz = Ро \ dz\ {у2 + х2) dx dy,
- h/2 S
(49.8)
49. Момент инерции
305
где S - площадь сечения цилиндра. Вычисление удобно вести в
цилиндрической системе координат, ось симметрии которой направлена вдоль
оси z. Мы имеем:
х = г cos ф, i/=rsin(p, х2-\-у2 = г2, dxdy=r dr йф.
Поэтому вместо (49.8) получаем
Л/2 R, 2я
Izz = Pо ^ dz ^ г3 dr [ dy = p0h~-2n,.
Л/2 У У
(49.9)
Принимая во внимание, что объем цилиндра равен пЩИ и, следовательно,
величина т = nRlhp0 является его массой, окончательно находим
Izz - mRl/2. (49.10)
Аналогично вычисляются и другие моменты. В этом следует поупражняться. В
частности, момент инерции однородного шара относительно оси, проходящей
через его центр, равен 2mRl/5, где т - масса шара, Rо - его радиус.
Момент инерции тонкого диска относительно оси, проходящей через центр
диска перпендикулярно его плоскости, дается формулой (49.10), а его
момент относительно оси, проходящей через центр диска и лежащей в
плоскости диска, равен тКЦЬ.
Теорема Гюйгенса. Вычисление моментов инерции относительно оси во многих
случаях облегчает теорема Гюйгенса, которая связывает моменты инерции
относительно двух параллельных осей, одна из которых проходит через центр
масс тела (рис. 108). Ось А0Во пусть будет осью, проходящей через центр
масс. Радиус-вектор точки Ши отсчитываемый от этой оси в плоскости,
перпендикулярной оси, обозначим через Ri( а от оси АВ, параллельной оси
А0В0, но не проходящей через центр масс, - через г{. Проведем от оси А В
к оси А 0В0 в этой плоскости вектор а.
Выбор системы координат для вычисления одного из главных моментов инерции
цилиндра
I

Хотя и известны строгие математические правила нахотдения главных осей,
во многих ватных случаях найти эти оси удается из сообратений симметрии,
не прибегая н математическим расчетам.
306
Глава 11. ДЖАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
108.
Геометрический смысл векторов, используемых при доказательстве теоремы
Гюйгенса
6
7
Что такое осевые и центробежные моменты инерции)
Дайте определение главным осям тензора инерции. Какой вид имеет тензор
инерции, если оси прямоугольной системы координат совпадают с главными
осями тензора инерции!
Умеете ли Вы находить главные оси тензора инерции! Что такое центральные
главные оси тензора инерции! Помогают ли соображения симметрии находить
главные оси тензора инерции и каким образом!
В чем состоит теорема Гюйгенса!
Пусть дано семейство параллельных осей, проходящих через все возможные
точки тела и вне его. Относительно какой из этих осей осевой момент
инерции тела минимален!
Этот вектор один и тот же во всех плоскостях, перпендикулярных оси. Пусть
Предыдущая << 1 .. 121 122 123 124 125 126 < 127 > 128 129 130 131 132 133 .. 177 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed