Механика и теория относительности - Матвеев А.Н.
ISBN 5-329-007242-9
Скачать (прямая ссылка):
обладающих релятивистскими скоростями. Если одну из частиц считать до
столкновения покоящейся, а другую движущейся с релятивистской скоростью,
то вид закона сохранения импульса
(42.1) не изменится, а вместо закона сохранения энергии (42.2)
необходимо написать закон сохранения полной энергии в виде
- то1.с.2-,. ¦ + т02с2 = -г^= + . (43.10)
VT^W2 Vi- ">i V Vi-
Мы не будем анализировать особенности решения этих уравнений в общем
случае, поскольку это довольно громоздко. Вместо этого рассмотрим один
конкретный процесс, который сыграл большую роль в физике, - эффект
Комптона. Все материальные частицы обладают как волновыми, так и
корпускулярными свойствами. Это означает, что в одних обстоятельствах
частица ведет себя как волна, а в других - как корпускула. Такими же
свойствами обладает свет. Корпускулярные свойства света выражаются в том,
что в определенных условиях излучение ведет себя как совокупность частиц
- фотонов. Фотон несет с собой энергию е и импульс р, которые
43. Упругие столкновения
281
связаны с частотой света со и длиной волны К следующими формулами:
р - Ак, е = Асо,
(43.11)
где |^| = 2л/к, a А - 1,05 • 10-23 Дж • с есть постоянная Планка.
Корпускулярные свойства проявляются тем отчетливее, чем меньше длина
волны. Фотоны, соответствующие длинам волн порядка ангстрема (1А = 10-8
см), называются у-квантами. Корпускулярные свойства у-квантов выражены
очень ярко. При столкновении с электронами они ведут себя подобно
частицам, энергия и импульс которых даются формулами (43.11).
Рассмотрим столкновение между покоящимся электроном и у-квантом (рис.
102). Падающий квант до столкновения имеет импульс рх = Ак и энергию ех =
Асо, после столкновения с электроном, двигаясь под углом р, - импульс pj
= Ак' и энергию е2 = Асо'. Энергия и импульс электрона после столкновения
равны Е% = = тс% и рг = тх, до столкновения его энергия равна энергии
покоя Ег - т0с2, а импульс р2 = 0. Запишем законы сохранения энергии
(43.10) и импульса (42.1) с учетом соотношений (43.11):
т0с2 + Лео = тс2 + Лео', Ak = Ak' + тх.
(43.12)
К объяснению эффекта Комптона
При каком условии замедление быстро движущихся частиц при упругих
столкновениях является наиболее эффективным! Какие столкновения в
комптон-эффекте не приводят практически к изменению частоты у-квантов!
Перепишем эти равенства в виде
тс1 = h (со - со') -f т0с2, тх = h (к - к')
и возведем в квадрат:
т2с4 = А2 (со2 + со'9 - 2охо') т\сх -f-
+ 2Лиг0с2 (и -со'),
m2v2 =" А2 (А2 + А'9 - 2кк' сов Р).
Принимая во внимание, что к = (2п/Х) == = (2п/сТ) = со/с, где Т - период
колебаний световой волны, умножим второе
При столкновении у кванта с покоящимся сво водным елвктроном про исходит
частичная пере дача электрону импуль са и энергии у-кеанта Вследствие
этого иэме нявтся направление деи тения у-кванта и он те ряет часть своей
энергии
282
Глава 9. СТОЛКНОВЕНИЯ
равенство на с и, вычитая его почленно из первого, получаем т2<А (1 -
v2/c2) - гщс4 - 2/г2а>а)' (1 - cos (3) -f 2hm0c2 (со - со'). (43.13)
Учитывая, что
т = m0/Y 1 - v2/c2, 1 - cos [3 = 2 sin2 (P/2),
из (43.13) находим
Длина волны связана с частотой соотношением (с/со) = к/2л. Поэтому
формула (43.14) окончательно принимает следующий вид:
где Л = (2лh/m0c) = 2,42 • 10-10 см называется комптоновской длиной волны
электрона. Таким образом, получилось, что, если уквант сталкивается со
свободным электроном и при этом отклоняется на угол (3, его импульс
изменяется в соответствии с законами упругого удара, причем это
уменьшение импульса приводит к увеличению длины волны, которая дается
формулой (43.15). Изменение длины волны 7~Квантов можно непосредственно
измерять. Наблюдения Комптона полностью подтвердили формулу (43.15). Тем
самым были экспериментально подтверждены и те исходные положения, на
которых базировался вывод (43.15), в частности формулы (43.11).
Конечно, столкновения у~квантов возможны не только со сво бодными
электронами, находящимися вне атомов, но и с электронами, входящими в
атомы. Результат столкновения зависит от того, насколько сильно
соответствующий электрон связан с атомом. Для внешних электронов, которые
находятся далеко от ядра атома и для которых сила притяжения ядра
экранируется электрическими зарядами электронов, более близких к ядру,
эта сила связи очень слаба. Поэтому при столкновении у~кванта с внешними
электронами все происходит так, как будто электрон не связан с атомом, т.
е. является свободным. В результате столкновения электрон отрывается от
атома, а фотон рассеивается в соответствии с формулой (43.15). По-другому
обстоит дело, когда уквант ударяется о внутренние электроны атома,
которые находятся на небольшом расстоянии от ядра и связь которых с ядром
весьма сильна. При этом электрон не может быть оторван от атома.
Столкновение практически происходит не с электроном, а со всем атомом в
целом. Законы сохранения (43.12) остаются, конечно, справедливыми, но
только под т0
