Механика и теория относительности - Матвеев А.Н.
ISBN 5-329-007242-9
Скачать (прямая ссылка):
в произвольном случае.
Замкнутость системы уравнений. Однако для твердого тела как системы
материальных точек эти уравнения являются замкнутой системой уравнений
движения, т. е. с помощью них без каких-либо других дополнительных
условий и уравнений можно полностью найти движение твердого тела в
заданных внешних силовых полях. Необходимо еще лишь знание начальных
условий движения. Чтобы в этом убедиться, следует вспомнить основные
положения кинематики твердого тела, изложенные в § 10. Ориентировка
твердого тела в пространстве полностью определяется направлением осей
прямоугольной декартовой системы координат, жестко связанной с телом, т.
е. направлением единичных векторов i', j', к' этой системы координат. В
ней положение каждой точки тела фиксировано и задается либо радиусом-
вектором г' относительно пачала, либо декартовыми координатами точки (х',
г/, z'). Поскольку система этих координат жестко связана с телом,
координаты каждой его точки имеют в ней постоянное значение. Ориентировка
этой системы координат относительно инерциальной системы координат, в
которой рассматривается движение тела и в которой справедливы уравнения
(48.1) и (48.2), полностью определяется тремя углами Эйлера: ср, 0, ф
(см. рис. 19). Положение точки твердого тела, с которой связано начало
системы координат (i', j', к'), задается радиусом-вектором г0 этой точки
относительно инерциальной системы координат или декартовыми координатами
этой точки (х0, у0, z0). Поэтому положение твердого тела как системы с
шестью степенями свободы описывается шестью величинами (ф, в, ф, х0, у0,
z0). Скорость каждой точки тела слагается из поступательного движения со
скоростью v0 = drldt точки твердого тела, в которой находится начало
координат (Г, j', к'), и вращательного с мгновенной угловой скоростью о>
вокруг оси, проходящей через это начало, и выражается формулой (10.5),
которую еще раз необходимо выписать:
v = vn4-[о, V]. (48.3)
Угловая скорость о> выражается через производные по времени от углов
Эйлера. Следовательно, скорость всех точек твердого тела полностью
определяется их положением и производными по времени от величин, которые
характеризуют положение точек. Отсюда следует, что р, F, N и М, входящие
в (48.1) и (48.2), выражаются через те же величины. Уравнения (48.1) и
(48.2) в координатах являются шестью скалярными уравнениями. Таким
образом, имеется шесть уравнений для шести величин, характеризующих
положение твердого тела, т. е. число уравнений равно числу неизвестных и
поэтому
(48.1) и (48.2) могут в полном смысле быть названы уравнениями
300
Глава 11. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
I
Вектор момента импульса твердого тела, панрепленного в некоторой тонне,
не совпадает по направлению с вектором угловой скорости. Связь между
этими векторами описывается с помощью тензора инерции.
движения твердого тела. При этом надо лишь учесть, что под силами и
моментами сил, стоящих в правой части этих уравнений, надо иметь в виду
не только обычные силы и моменты обычных сил, но и силы реакций связей,
наложенных на твердое тело, и их моменты.
Выбор системы координат. Выбор точки О', с которой целесообразно связать
систему координат (i', j', к'), а также ориентировка этой системы
относительно тела являются произвольными и диктуются лишь соображениями
удобства. Удачный выбор позволяет существенно упростить эти уравнения, и
позднее будет сделан для конкретных случаев движения. Один из удачных
выборов точки О' был уже использован в § 23 - это центр масс. В этом
случае (48.1) превращается в уравнение (23.10):
т {d\0!dt) = F,
(48.4)
104.
К понятию тензора инерции, характеризующего инерциальные свойства
твердого тела
которое называется уравнением движения центра масс и аналогично уравнению
движения материальной точки. (Реакции связей включены в F.) Однако не
всегда такой выбор точки О' в твердом теле является наиболее удачным, как
это будет видно из последующего. Поскольку поступательное движение
твердого тела не отличается от движения материальной точки, необходимо в
первую очередь охарактеризовать вращение твердого тела вокруг оси.
49. Момент инерции
Тензор инерции. Будем считать, что тело состоит из отдельных материальных
точек с массами тп*. Закрепим тело в точке О (рис. 104). Радиус-вектор
точки тп* относительно О обозначим через г*. Пусть со - мгновенная
угловая скорость тела, тогда согласно (10.6) скорость г-й точки тела v* =
[со, г*]. Поэтому момент им-
49. Момент инерции
301
пульса N всего тела относительно точки О равен N = 2[ri, mivi]= 2wi[rti".
ri]]=(c)2mir* -2mir*((r). г0>(49Л)
где использована формула разложения двойного векторного произведения [А,
[В, С]] = В (А, С) - С (А, В).
Векторное равенство (49.1) можно написать в виде трех проекций на оси
координат:
^ = mir* ~ 2 miXi (ri' W)'
^ = щг1 - ^miyi (r{, (c)), (49.2)
Nt = (Oz^mirt = o>).
Учитывая, что (ri5 o>) = + у2(ау -f Zi<o2l вместо (49.2) имеем:
Nx - IXX "Ь IXy(r)y "f" lxz(r)2 >
