Механика и теория относительности - Матвеев А.Н.
ISBN 5-329-007242-9
Скачать (прямая ссылка):
Ny=Iyx(ox + Iyy(oy + Iyz(oz, (49.3)
Nz - Izx(ox -f-1Zy(Oy -f-122coz, где
/** = 2 (r* " **)• Ixv== - 'Eimixiyhfxz = -'Zimixizi (49.3a)
и аналогично выражаются другие величины: Ivy, Iyx, Iyz и т. д. Из (49.3а)
непосредственно видно, что 1ху = 1ух, 1хг = 1гх и т. д. Поэтому из девяти
величин 1ХХ, 1ху, ... различны лишь шесть. Величины 1ХХ, 1Ш 1гг называют
осевыми моментами инерции, а 1ху = 1ух, 1хг = 12Х и 1уг = 1гу -
центробежными моментами инерции.
Таким образом, момент импульса тела весьма сложно зависит от
распределения масс в теле и его направление не совпадает, вообще говоря,
с угловой скоростью вращения тела. Совокупность величин
(49.4)
называется тензором инерции. Величины 1ХХ, 1УУ, /22 являются
диагональными элементами тензора, а остальные - недиагональными. В данном
случае величины, расположенные симметрично относительно диагонали, равны.
Такой тензор называется симметричным.
Главные оси тензора инерции. Предположим, что все недиагональные элементы
тензора равны нулю, а отличными от нуля
1ху I xz
I'M Iyz
Izy Izz
302
Глава 11. ДШАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
являются лишь диагональные и, следовательно, тензор имеет вид
При такой ситуации говорят, что оси тела, совпадающие с осями координат,
являются главными осями инерции, а величины 1Х = 1ХХ, 1у = 1уу, I2 = IIZ
называют главными моментами инерции. О тензоре в этом случае говорят, что
он приведен к диагональному виду. Таким образом, если осп системы
координат направлены вдоль главных осей инерции тела, то центробежные
моменты инерции отсутствуют.
Процесс нахождения главных осей сводится к математической процедуре
диагонализации тензора. Здесь нет необходимости се рассматривать. Отметим
лишь результат: через любую точку твердого тела можно провести три
взаимно перпендикулярные главные оси. Главные моменты инерции /д, /у, Iг
будут различны для различных точек тела. Если главные оси проведены через
центр масс тела, они называются центральными главными осями, а тензор -
центральным тензором. Таким образом, не имеет смысла говорить о главных
моментах инерции тела, не указав точки тела, через которую проведены
главные оси. Прн переходе от одной точки тела к другой главные оси,
вообще говоря, меняют свое направление, а главные моменты - свою
величину. Например, не имеет смысла начертить в теле ось и сказать, что
она главная. Лишь когда речь идет о центральных главных осях и
центральных главных моментах инерции, пет необходимости указывать точку
тела, к которой они относятся, потому что по определению известно, что
это -- точка центра масс тела.
Особенно важное значение имеет осевой момент инерции, равный (рис. 105)
где jRj есть расстояние точки т.{ от оси, поскольку во многих случаях он
позволяет полностью описать динамику вращения твердого тела. Его называют
также моментом инерции тела относительно оси.
Нахождение главных осей. Главные оси во многих случаях могут быть найдены
без громоздких математических расчетов, которые надо провести для
диагонализации тензора инерции. Для этого иногда бывает достаточно
воспользоваться простыми соображениями симметрии.
Пусть имеется плоская пластинка, толщина которой исчезающе мала. Точка,
через которую проходят главные оси, лежит на пластинке.
(49.5)
/ = 2 Щ (г? - Zi) = 2 ТПгЩ,
(49.6)
49. Момент инерции
303
Направим ось х перпендикулярно ей. Очевидно, что координаты х всех точек
пластинки равны 0, т. е. все х{ - 0. В этом случае из формулы (49.3а)
имеем: Ixy - Ixz - 0. Следовательно, любая ось, перпендикулярная этой
пластинке, будет главной. Две другие главные оси расположены в плоскости
пластинки взаимно перпендикулярно друг другу. Их направление зависит от
формы пластинки.
Рассмотрим случай круглой пластинки (рис. 106) конечной толщины. Точка О,
лежащая в средней плоскости пластинки, есть точка, относительно которой
надо найти главные оси. Очевидно, что одна главная ось направлена
перпендикулярно плоскости пластинки. Утверждается, что другой главной
осью является ось, лежащая в средней плоскости и проходящая через данную
точку и центр диска. Эта ось на рис. 106 взята за ось у. Убедимся в этом.
Имеем:
hv = 2 mi И - У*). *Уг = 2 miViZU
I ух ~
Поскольку х{ = 0, то 1ух = 0. А при вычислении Iyz надо принять во
внимание, что диск симметричен относительно оси у. Поэтому при каждом
значении у имеется две симметричные точки, координаты z которых равны по
абсолютному значению, но противоположны по знаку. Следовательно,
соответствующие члены в сумме для 1уг сократятся, и получается, что 1уг -
0. Таким образом, выбранная ось действительно является главной. Третья
главная ось однозначно определяется двумя найденными, будучи
перпендикулярна им обеим. Проверим, что ось z действительно является
главной. Имеем:
Izz = (^"i Zj), Izx ~ ^
hy = - 2m'Z^i-
105.
Геометрический смысл величин, входящих в определение осевого момента
инерции
Главные оси круглой пластины, проходящие через точку средней плоскости,
