Механика и теория относительности - Матвеев А.Н.
ISBN 5-329-007242-9
Скачать (прямая ссылка):
истечения 4 -v- 5 км/с.
Характеристическая скорость. Для того чтобы тело могло покинуть пределы
земного притяжения, ему необходимо сообщить скорость около 11,5 км/с
(вторая космическая скорость). В случае ракеты такое значение должна
иметь скорость в формулах (46.12) (при v0 = 0) в предположении, что
топливо сгорело очень быстро и скорость приобретена ракетой
непосредственно около поверхности Земли. По формулам (46.12) можно
вычислить, какая часть первоначальной массы ракеты полетит в космос. Если
считать, что скорость истечения газов и' ж 4 км/с, то М " М0е~г " MJ22,
т. е. в космический полет отправится лишь около 4% первоначальной массы
ракеты. Фактически ракета разгоняется значительно медленнее, чем мы
допустили. Это еще больше ухудшает ситуацию, так как увеличивает расход
топлива. Для уменьшения расхода топлива при ускорении ракеты в поле
тяжести Земли необходимо сократить время ускорения, т. е. максимально
увеличить ускорение. Это связано со значительными перегрузками. Поэтому
приходится выбирать определенные оптимальные условия.
Если из космического пространства необходимо вернуться на Землю, то надо
снова воспользоваться ракетным двигателем для торможения, чтобы
благополучно приземлиться. Допустим, что в космическом пространстве под
действием сил тяготения изменилось направление движения ракеты и она
стала снова приближаться к Земле. Если у ракеты имеется специальное
покрытие, предохраняющее ее от сгорания при разогревании из-за трения о
воздух, то можно воспользоваться аэродинамическим торможением, т. е.
погасить скорость торможением в атмосфере Земли. Но можно погасить
скорость и включением ракетного двигателя. В этом случае для мягкой
посадки потребуется уменьшить до нуля скорость 11,5 км/с. Это есть
характеристическая скорость возвращения на Землю. Поэтому
характеристическая скорость полета в космос вне пределов земного
тяготения и возвращения обратно без использования аэродинамического
торможения равна 23 км/с. Спрашивается, какая доля первоначальной массы
вернется из такого полета? По формуле (46.126) находим М "=# М0е~6 ^
М0/500.
Скорость, необходимая для преодоления притяжения Луны, равна примерно 2,5
км/с. Поэтому характеристическая скорость
294
Глава 10. ДИНАМИКА ТЕЛ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ
посадки на Луну и подъема с ее поверхности равна 5 км/с, а полета на Луну
и возвращения на Землю оценивается примерно в 28 км/с. Но здесь не учтена
возможность осуществления маневра. Это заставляет несколько увеличить
последнее значение. Но, с другой стороны, при возвращении на Землю можно
воспользоваться аэродинамическим торможением, что позволяет несколько
снизить эту величину. В результате имеем, что характеристическая скорость
полета па Луну не очень сильно отличается от указанной (28 км/с).
Характеристическая скорость полета на Марс и Венеру несколько больше.
Если считать и' " 4 км/с, то на Землю после полета на Луну будет
возвращена примерно 1/1500 часть стартовой массы ракеты. Хотя эти
величины являются грубой прикидкой, они дают достаточно хорошую оценку
возможностей ракет с химическим топливом.
47. Релятивистские ракеты
Уравнение движения. При выводе уравнения (46.4^было подчеркнуто, что оно
справедливо как при малых, так и при больших скоростях. В релятивистском
случае массу М надо считать релятивистской, т. е.
М = M'/V 1 - W, (47.1)
где М' - переменная масса покоя ракеты. (Мы обозначили ее буквой со
штрихом, чтобы подчеркнуть, что это есть масса в движущейся системе
координат, связанной с ракетой.) В процессе движения масса покоя ракеты
уменьшается. С учетом сказанного уравнение (46.4) в релятивистском случае
имеет следующий вид:
" ^ ' = " 4УАЙ- (47.2,
dt \ У1 - иг/сг j dt \ У1 - v2/c'z
Нетрудно учесть также наличие внешних сил, действующих на ракету, но в
этом нет необходимости. Преобразуем это уравнение к виду
(46.6). Для этого продифференцируем левую часть по t и один из полученных
членов, пропорциональный v, перенесем в правую часть. Тогда имеем
(47.3)
Оно полностью аналогично уравнению (46.6) с релятивистской
массой (М - М0/у 1 - иг/сг). Однако в (47.3) разность u - v не является
скоростью истечения газов относительно ракеты, потому что в
релятивистском случае для сложения скоростей надо пользоваться формулой
(18.6).
47. Релятивистские ракеты
295
Зависимость конечной массы от скорости. Для получения в релятивистском
случае формулы, аналогичной формуле Циолковского, необходимо решить
уравнение (47.3). Будем считать, что ускорение происходит в положительном
направлении оси х, тогда уравнение
(47.3) приобретает вид
М' dv . = {Их_р)4( (47.4)
V1 - v2/c2 dt dt \ УI - и2/с2
По формуле сложения скоростей (18.6) имеем для скорости выбрасываемых
газов относительно ракеты
и'х=-.-х ~--т. (47.5)
1 - vux/c2 ' '
Далее учтем, что
d / М' \ 1 dM' . М' v dv .
Н ~п 7. -ТГТгт-ТГ- (47-6)
dt \ -v2jc2 / У~ 1-i>2/r2 dt с2 (1-v2/c2)3^3 dt
Следовательно, уравнение (47.4) после переноса второго члена
