Механика и теория относительности - Матвеев А.Н.
ISBN 5-329-007242-9
Скачать (прямая ссылка):
(47.6) в левую часть и сокращения на общий множитель 1 /)/ 1 - и2/с2
принимает вид
М' ! ж vux \ dv , . dM' .
Л-тг- <47'7>
Теперь, заменив величину их - у по формуле (47.5) через скорость их,
получим после сокращения на общий множитель [1 - vujc2] релятивистское
уравнение движения в следующем простом виде
dv /. v2\ , dM' ,с..
м чг = \1-*)и'-~чг- (47-8)
Примем во внимание, что для ускорения ракеты скорость выброса газов
должна быть направлена против скорости движения ракеты, т. е. и'х - - и',
где и' есть абсолютное значение этой скорости. Теперь можно переписать
(47.8) в аналогичном уравнению (46.10) виде:
-м- =------------------- (47 9\
М' и' 1 - v2/c2 * У1*1'*)
Пусть в начальный момент масса ракеты была Мо, а скорость v0. Как и в
(46.10), проинтегрируем левую и правую части этого равенства в
соответствующих пределах. Интеграл в правой части по v с учетом того, что
1 = 1 _J_____ 1 1
1 - v2/c2 2 1 - v/c '2 1 -f- v/c '
296
Глава 10. ДИНАМИКА ТЕЛ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ
является элементарным. В результате интегрирования получаем
Отсюда следует, что
I М' С, (1 Ч~ v/с) (1 - Уо/с)
М'и ~ 2и' (i-v/c)(l + v0/c) •
ИЛИ
М' _ [{i + vlc)(i-vje)\-c/2u>
Л/' 1(1 - v/c) (1 + v0/c) I '
Эта формула для релятивистского случая заменяет формулы (46.12) для
нерелятивистских ракет. Особенно простой вид, пригодный для анализа, она
приобретает для v0 = 0, т. е. когда разгон ракеты начинается из состояния
покоя:
(47.11)
В случае малых конечных скоростей (и<^ с) эта формула переходит в
(46.126) для нерелятивистского случая (с v0 - 0). В самом деле, перепишем
правую часть (47.11) при (v/c) 1 и и' 1с ^1 в виде
C + V -с/2и' С - V }
7 . . 0 V \с/2в]-"/и'
\1+2т) J =е
- D/U'
(47.12)
где учтено, что
С + V 1 + vjc
¦ v/c
/ 1 \n lim (1 -)-) = e.
n-.oo\
Предположим, что ракету надо ускорить до скорости с/2 с помощью
химического топлива, когда и = 4 км/с. Какая доля первоначальной массы
будет ускорена при этом? Учитывая, что с = 3-105 км/с, из формулы (47.11)
получаем
(47.13)
Представить себе число Ю20000 невозможно. Поэтому об ускорении ракет до
релятивистских скоростей на химическом топливе не может быть и речи.
47. Релятивистские ракеты
297
Одиако и с другими видами топлива дело обстоит не намного лучше. Для
ядерных ракет, использующих энергию деления, u' " 104 км/с. В этом случае
вместо (47.13) находим
т. е. окончательной скорости с/2 достигнет лишь примерно 10-6 стартовой
массы ракеты.
Поэтому более или менее обнадеживающих результатов в достижении
релятивистских скоростей можно ожидать только в случае, если и' близко к
скорости света. Это приводит к идее создания реактивной тяги излучением
фотонов. Такие, в настоящее время лишь теоретически мыслимые, ракеты
называются фотонными.
Фотонные ракеты. Для фотонных ракет и' = с и, следовательно, уравнение
(47.11) принимает вид
Как видно из этой формулы, до скорости с/2 было бы возможно ускорить
массу М' = му\/~3, т. е. больше, чем половину стартовой массы. Таким
образом, эти ракеты были бы весьма эффективными. Пусть v отличается от
скорости света на очень маленькую величину, например на 10'4, т. е. {v/c)
" 1 - 10~4. Тогда из (47.15) получаем
3- 10"
(47.14)
М' = МУ3*¦104 ^ муЗ15 ^ му 106,
(47.15)
M'^Myi 0-2/У 2,
(47.16)
т. е. вполне приемлемый результат. Однако фотонные ракеты в настоящее
время с технической точки зрения являются лишь фантазиен.
Глава 11
ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
48. Уравнения движения
49. Момент инерции
50. Кинетическая энергия вращающегося твердого тела
51. Плоское движение. Маятники
52. Движение твердого тела, закрепленного в точке. Гироскопы
48. Уравнения движения
Система уравнений. Твердое тело является системой материальных точек,
расстояние между которыми постоянно. Поэтому все утверждения и уравнения
§ 23, касавшиеся системы материальных точек, справедливы и для твердого
тела. Как было отмечено в § 23, уравнения (23.6) и (23.15), которые здесь
необходимо еще раз выписать:
(48 1) (48.2)
не являются в строгом смысле уравнениями движения системы материальных
точек. Определить движение системы материальных точек - это значит
указать движение каждой ее точки. Однако два векторных уравнения (48.1) и
(48.2) не дают такой возможности даже для двух материальных точек, если
только они не связаны жестко между собой. Чтобы найти движение системы
материальных точек,
dp/dt = F, dN/dt = М,
Уравнение движения центра масс и уравнение моментов системы материальных
точек являются замкнутой системой уравнений движения твердого тела, т.е.
с их помощью без каких-либо других дополнительных условий и уравнений
можно полностью определить движение твердого тела в заданных внешних
силовых нолях. Необходимо лишь знать начальные условия движения.
48. Уравнения движения
299
необходимо (48.1) и (48.2) дополнить уравнениями, учитывающими их
взаимодействие. Поэтому уравнения (48.1) и (48.2), строго говоря, не
являются замкнутой системой уравнений движения системы материальных точек
