Молекулярная физика. Том 2 - Матвеев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
часто встречаются как положительные значения скалярного произведения, так
и отрицательные. Поэтому, очевидно, все члены второй суммы <ягя,-> =0 (i
ф j) и выражение
(13.2) принимает вид
где At - промежуток времени между наблюдениями; t ¦= Atn - время, в
течение которого средний квадрат удаления частицы стал равным {г2}.
Поэтому, несмотря на то что направления, в которых частица перемещается
при каждом шаге, равновероятны, в среднем частица будет удаляться от
начала. Это особенно очевидно, если вместо последовательности многих
опытов со многи-
г" = ХЧ
п
(13.1)
(13.2)
22. Перемещение частицы при броуновском движении.
Кривыми линиями обозначены шаги с 6-го по (и - 1)-й
(13.3)
112 1. Статистический метод
ми частицами представить себе один опыт со многими одинаковыми
броуновскими частицами, помещенными в начало координат. Ясно, что "пятно"
из этих броуновских частиц должно расползаться от начала координат. А это
и означает рост среднеквадратичного отклонения со временем. Существенно в
(13.3) то, что средний квадрат удаления растет пропорционально именно
первой степени времени.
Расчет движения броуновской частицы. Для того чтобы охарактеризовать
броуновское движение, необходимо в формуле (13.3) определить ос. Ее
можно, с одной стороны, найти экспериментально, измеряя <г(2>, а с другой
стороны, вычислить теоретически.
Броуновская частица движется под действием случайной силы, возникающей за
счет беспорядочных ударов молекул о частицу. Коэффициент трения частицы в
жидкости из-за вязкости последней обозначим Ъ. Уравнение движения частицы
имеет вид
тх - - bx + Fx, (13.4)
где т - масса частицы; Fx - случайная сила, действующая на нее.
Необходимо отметить, что член - Ьх также возникает вследствие ударов
молекул. Однако при систематическом движении броуновской частицы со
скоростью х случайные удары молекул против скорости частицы в среднем
передают ей больший импульс, чем случайные удары в направлении скорости.
Благодаря этому и возникает сила трения, которая описывается величиной -
Ьх.
Аналогичный вид имеют уравнения движения для величин, относящихся к
другим координатным осям. Умножим обе части этого уравнения на х, а члены
хх и хх преобразуем:
хх = (х2/2)" - (х)2, хх = (х2/2). (13.5)
Тогда уравнение (13.4) приводится к виду
(т/2)(х2)" - т(х)2 = - (Ь/2)(х2)' + Fxx. (13.6)
Усредним обе части этого уравнения по ансамблю броуновских частиц,
учитывая при этом, что средняя от производной по времени равна
производной от средней величины, поскольку усреднение производится по
ансамблю частиц, и, следовательно, переставимо с операцией
дифференцирования по времени. В результате усреднения (13.6) получаем
(м/2)(<х2" -- <т (х)2} = - Ф/2){<х2)У + <f". (13.7)
Так как отклонения броуновской частицы в любом направлении равновероятны,
то <х2> = <у2> = <z2> = <г2>/3. Поэтому из (13.2) получаем, что <х2> =
at/З и, следовательно, "х2"' = ос/3, "х2""=0. Из-за случайного характера
силы Fx и координаты частицы х и их независимости друг от друга должно
быть <Fxx> = 0, и соотношение (13.7) сводится к равенству
<m(x)2 > = ab/6. (13.8)
По теореме о равнораспределении энергии по степеням свободы, <т(х)2> = =
кТ и, следовательно, для сс из уравнения (13.8) получаем
<х = 6кТ/Ь, (13.9)
где Ь, характеризующее силу жидкого трения, действующего на броуновскую
частицу, может быть выражено теоретически (формула Стокса), измерено
экспери-
§ 13. Броуновское движение 113
ментально и может считаться известной. Температура Т известна. Поэтому
формула
(13.3) с учетом (13.9) решает задачу о броуновском движении
взвешенных частиц:
Если к считать измеренной в опытах по проверке распределения Больцмана
(см. § 9), то все величины в этой формуле известны и ее можно проверять
экспериментально в смысле правильности зависимости от различных
параметров. В экспериментах, выполненных впервые Ж. Б. Перреном (1870-
1942), начиная с 1908 г., эти предсказываемые формулой (13.10)
зависимости были подтверждены. Теперь, считая формулу обоснованной, можно
ее использовать для уточнения и определения значения постоянной Больцмана
к, поскольку все остальные величины в этой формуле могут быть измерены
независимо. Такое измерение к было также проведено Перреном и дало
результаты, хорошо согласующиеся со значением к, полученным из измерений
по распределению Больцмана. Согласие этих результатов явилось в свое
время (первая четверть XX в.) большим триумфом молекулярно-кинетических
представлений.
В связи с (13.10) возникает такой вопрос. Левая часть этого равенства не
зависит от массы, поскольку b зависит только от радиуса частицы, а не от
ее массы, как это непосредственно видно из формулы Стокса.
где ц - вязкость жидкости; г0 - радиус шарообразной частицы, движущейся в
жидкости.
С другой стороны, средняя скорость частицы при одинаковой средней энергии
уменьшается с увеличением массы, поэтому при прочих равных условиях более
тяжелые частицы дрожат менее интенсивно, чем мелкие. Спрашивается: как же
