Молекулярная физика. Том 2 - Матвеев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
во внешнем потенциальном поле или частицы системы взаимодействуют между
собой посредством потенциальных сил. Последний вид взаимодействия в
идеальном газе считается отсутствующим.
Метод би-мерного фазового пространства. В системах многих частиц
используются два метода (см. § 8). Можно задачу свести к рассмотрению
движения совокупности и частиц в 6-мерном фазовом пространстве переменных
(х, у, z, рх, ру, pz). Именно этот метод до сих пор и использовался,
поскольку он дает более наглядную картину. Сейчас же мы изложим другой
метод, применяемый к доказательству теоремы о равнораспределении энергии
по степеням свободы.
В распределении Гиббса (7.5) в этом случае под ?а следует понимать
энергию некоторого состояния системы из и частиц. Вся эта система
погружена в очень большую систему с температурой Т. Каноническим
ансамблем при этом является большое число таких систем, состоящих из и
частиц каждая. Энергия системы Еа слагается из суммы кинетических энергий
частиц и суммы их потенциальных энергий. Некоторое конкретное состояние
системы характеризуется значением всех составляющих импульса и координат
всех частиц системы, т. е. 6и переменными. Поэтому можно считать, что
состояние системы изображается точкой в би-мерном фазовом пространстве. В
сущности говоря, би-мерное фазовое пространство не труднее себе
представить, чем б-мерное, поскольку в обоих случаях одинаково невозможно
наглядное представление, которое мы имеем о трехмерном пространстве.
Поэтому исходным является двумерное фазовое пространство, состоящее из
одной координаты и одного импульса. Его можно, например, изобразить на
чертеже, а затем уже с помощью воображения перейти к 4-мерному фазовому
пространству, 6-мерному и т. д., причем все эти многомерные фазовые
пространства в нашем воображении в смысле ясности картины, в сущности,
ничем не отличаются друг от друга. Элементарный фазовый объем в би-мерном
пространстве равен
dyi dzt dpxl dpyl dpzl... dx" dyn dz" dpxn dpyn dpZB, (12.1)
104 1. Статистический метод
т. е. произведению фазоьых объемов, в которых может находиться каждая из
частиц системы. Для упрощения обозначений произведение всех
дифференциалов в (12.1) обозначим в виде {cbc}, а импульсов - {dp}, т. е.
фазовый объем равен {dx} {dp}.
Каждая частица в своем фазовом подпространстве согласно (4.1) занимает
объем (2nh)3. Поэтому п частиц в би-мерном фазовом пространстве занимают
объем (2nh)3n и, следовательно, вместо формулы (8.1) получаем
dr = {dx} {dp}/(2nh)3n. (12.2)
Для вероятности нахождения частиц в элементе объема {dx} {dp} би-мерного
фазового пространства вместо формулы (8.2) получаем
A exp (- PeJ dr. (12.3)
Постоянная А, как и прежде, определяется из условия нормировки. Для того
чтобы найти вероятность того, что система частиц имеет заданную энергию
еа, необходимо в (12.3) произвести интегрирование по всем элементам
фазового пространства, которые соответствуют энергии еа. Тем самым мы
учтем вклад в вероятность от всех состояний, имеющих одну и ту же энергию
еа. Таким образом, метод би-мерного фазового пространства использует те
же самые понятия и приемы, которые в § 7 -9 были более наглядно при
первом знакомстве применены для 6-мерного фазового пространства. Все
дальнейшие приемы вычисления средних также аналогичны.
Вычисление средней величины, относящейся к одной степени свободы.
Вычислим среднее значение кинетической энергии, относящейся к х-й
составляющей i-й частицы:
<т^> = <^7>- (12-4)
Здесь масса частицы снабжена индексом i, потому что массы частиц могут
быть и различными. Энергия системы может быть записана в виде ?* =
р1А2пк) + (12.5)
где е" - вся энергия системы за вычетом р&/{2пц), среднее значение
которой мы хотим вычислить. Объем элемента фазового пространства может
быть записан в форме
{dx} {dp} = {dx} dpxi {dp}', (12.6)
Закон равнораспределения энергии подразумевает среднюю энергию,
приходящуюся на одну степень свободы. В конкретный момент времени
энергия, связанная с данной степенью свободы, может иметь всевозможные
значения, отличающиеся, вообще говоря, от энергий, связанных с другими
степенями свободы. Лишь средние энергии за достаточно большой промежуток
времени, связанные с различными степенями свободы, равны друг другу.
Согласно эргодической гипотезе, это означает также равенство средних
значений энергии, приходящейся на соответствующие степени свободы, по
ансамблю.
§ 12. Распределение энергии по степеням свободы 105
где {dp}' - произведение всех дифференциалов импульсов частиц за вычетом
дифференциала dpxi, который вынесен из произведения {dp} = dpxi {dp}'.
Величина (12.4) определяется по формуле для вычисления среднего:
2 fехр [- (Зр^/(2т?)] -|^-dpxi J ехр (- Ю {dx} {dp}'
< ! > (12-7)
2mi f ехр [- (ЗрУ(2т*)] dpXi j ехр (¦- р^) {dx} {dp}'
где знаменатель - величина, обратная нормировочной постоянной А,
возникающая за счет нормировки (12.3) на единицу. Интегралы по всем
переменным, за исключением Pxi j в числителе и знаменателе (12.7) взаимно
