Молекулярная физика. Том 2 - Матвеев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
сокращаются; остается
2 I ехр [- PPxi/(2mf)] [Pxi/(2mt-)] dpxl-
/ _ Pxi \ - ___________________________________
4 2т/ "
J exp [- Ppi/(2m?)]dpx?
- 00
Такое представление среднего уже было использовано в (7.15); интеграл,
аналогичный стоящему под знаком логарифма в (12.8), известен из (8.8),
поэтому
In ехр
-РРх 2 т{
dpxi. (12.8)
/ Vli \ _ J_= кТ
4 2т/ 2р 2 '
Эта формула является выражением очень важного положения: на каждую
степень свободы системы из п точечных частиц, дающую вклад в кинетическую
энергию системы, приходится одна и та же энергия, равная 1[2 кТ. Еще раз
отметим, что этот вывод справедлив также и для случая различной массы
частиц. На основании этого вывода для полной кинетической энергии системы
можем написать
W=3nkT/2, (12.10)
поскольку всего у системы Ъп степеней свободы, дающих вклад в
кинетическую энергию.
Для потенциальной энергии различных степеней свободы никакого общего
закона подобного типа не существует. Однако, когда потенциальная энергия
имеет специальную, но очень важную и часто встречающуюся форму, для нее
также справедливо соответствующее положение, которое сейчас будет
доказано.
Сложные частицы со многими степенями свободы. Представим себе, что каждая
из п частиц системы не является точечной, а состоит из нескольких
точечных частиц, связанных между собой в единое целое некоторыми силами,
которые без ограничения общности можно считать потенциальными, поскольку
в противном случае в сложных частицах не сохранялась бы энергия и их
нельзя было бы считать стационарно существующими. Поэтому система из п
сложных частиц превращается в систему из N точечных частиц, причем под N
понимается число всех точечных частиц, которые входят в состав п сложных
частиц. При этом нет необходимости допускать, что все п сложных частиц
одинаковы и состоят из одинакового числа
106 1. Статистический метод
точечных частиц. Из вывода канонического распределения Гиббса (7.5) ясно,
что оно применимо к совокупности из N точечных частиц.
Теперь рассмотрим одну из сложных частиц. Пусть она состоит из s точечных
частиц. Движение сложной частицы в целом характеризуется движениями
составляющих ее частиц, т. е. она имеет 6s степеней свободы. Однако эти
6s степеней свободы целесообразно представить в более легко обозримом
виде, как это было сделано в случае твердого тела для шести степеней
свободы. Если точечные частицы неподвижны в системе центра масс сложной
частицы, то сложная частица ведет себя как совокупность движений центра
масс и вращений вокруг центра масс. Кинетическая энергия такой частицы
дается известной формулой. Отличие от твердого тела в случае сложной
частицы состоит лишь в том, что возможно вращение не вокруг всех главных
центральных осей. Например, если сложная частица состоит из двух точечных
частиц, невозможно вращение вокруг оси, проходящей через точечные
частицы. В формуле для кинетической энергии имеется член, соответствующий
этой оси, но момент инерции J относительно этой оси равен нулю. Поэтому
кинетическая энергия сложной частицы, связанная с ее поступательным
движением и вращением, может быть представлена в виде
где щ - масса сложной частицы, равная сумме масс составляющих ее точечных
частиц; ^ - скорость ее центра масс; Ju J2, Jз, соь со2, ш3 - моменты
инерции и угловые скорости вращения сложной частицы, отнесенные к ее
главным центральным осям.
Кинетической энергией (12.11) не исчерпывается вся энергия сложной
частицы. Точечные частицы, входящие в ее состав, не находятся в покое в
положениях равновесия, а движутся около них. Эти отклонения малы, поэтому
движение частиц сводится к колебаниям около положений равновесия, т. е.
движению линейных осцилляторов. Рассмотрим одно из колебательных движений
j-й точечной частицы около положения равновесия. Обозначим ее отклонение
от положения равновесия ij, а скорость - Ее кинетическая и потенциальная
энергии равны соответственно
Здесь первый индекс означает номер сложной частицы, которая
рассматривается, а второй индекс нумерует точечную частицу внутри
сложной. Энергии колебаний
(12.12) точечных частиц прибавляются к энергии движения центра масс и
вращения (12.11). Поэтому полную энергию i-и частицы можно представить в
виде
где Ui (xh yu zt) - потенциальная энергия сложной частицы как целого во
внешних полях.. Мы не обозначили явно, сколько значений в суммах (12.13)
принимает индекс j. Он принимает столько значений, сколько необходимо,
чтобы исчерпать все степени свободы сложной частицы. Сейчас нет
необходимости более точно выписывать соответствующее число.
Доказательство того, что кинетическая энергия в (12.13) представляется
именно в виде суммы квадратов скоростей, может быть выполнено следующим
образом.
W0 = ntvf/ 2 + (/iCof + J2(r)>2 + /3Шз)/2,
(12.11)
Wij ~ т^г\У2', ,tfJZ
(12.12)
J
J
§ 12. Распределение энергии по степеням свободы 107
Пусть гц - радиус-вектор j-й точечной частицы в системе центра масс. По
