Молекулярная физика. Том 2 - Матвеев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
происходит столь медленно, что в каждый момент температура газа под
поршнем равна постоянной температуре Т0 атмосферного воздуха, а давление
газа под поршнем равно Рат + (то - dm)g/S. Объем газа под поршнем при
этом увеличивается на dV - Sdx. Совершаемая газом работа (р - paT)Sdx =
(р - pax)dF. При изменении объема от V0 до V производится работа
A=i(p-p")dV. (14.5)
ф Первое начало термодинамики является выражением закона сохранения
энергии для процессов с участием теплоты. Работа связана с передачей
энергии путем изменения макроскопических параметров, а передача теплоты
осуществляется переходом энергии молекулярного движения. Происходящее при
этом изменение макроскопических параметров является следствием изменения
энергетических условий на молекулярном уровне.
124 2. Термодинамический метод
Поскольку процесс бесконечно медленный, можно считать, что газ под
поршнем все время находится в равновесном состоянии и между его давлением
и объемом соблюдается соотношение р = vRT0/V. Подставляя это значение для
р в (14.5) и интегрируя, получаем работу, совершаемую газом при
увеличении его объема от V0 до V:
А = vRT0 In (V/V0) - рат (V- К0). (14.6)
При этом поршень смещается на Ax = (F- V0)/S и происходит превращение
энергии в потенциальную энергию поршня и песчинок. Чтобы в этом
убедиться, рассчитаем работу по подъему поршня и песчинок. Сила тяжести,
против которой совершается работа, равна F = т(х) д, где т (х) - масса
поршня с песчинками на высоте х. Отсчитывая координату х от дна цилиндра,
имеем т (х0) = т0, x0S - V0, xS = V.
Работа подъема переменной массы
X
А = | т(х)д dx.
*о
Для определения т(х) имеем равенство т(х)д = S(p - рат) = SvRTq/V- SpaT =
vRTJx - 5рат,
откуда
X
А = | т (х) д dx = vRT0 In (х/х0) - SpaT (х - х0), (14.7)
*о
что совпадает с (14.6). Источником энергии для совершения этой работы
является газ в цилиндре. Однако, как станет ясно из дальнейшего,
внутренняя энергия идеального газа при этом не изменяется и вся энергия,
превращаемая в потенциальную, поступает в газ из окружающей цилиндр среды
в форме теплоты.
С учетом (14.7) соотношение (14.5) запишем в виде
р У р Джоуль
J pdV= J paxdK+ J m(x)pdx. (14.8) Джемс Прескотт
V0 v0 x0 (1818-1889)
Это означает, что совершаемая находящимся в цилиндре газом работа при
расширении затрачивается на преодоление давления на поршень со стороны
атмосферы и на преодоление веса поршня (с насыпанным на него песком).
Действие силы тяжести на газ в цилиндре здесь не учитывается.
§ 15. Дифференциальные формы и полные дифференциалы 125
С помощью (14.5) соотношение (14.8) может быть представлено по-другому.
Несколько позже будет показано, что в идеальном газе внутренняя энергия U
зависит только от температуры. Рассматриваемый процесс происходит при
постоянной температуре и, следовательно, dU = 0 для этого процесса.
Подставляя в (14.8) pdV=bQ из (14.5), получаем
V х
S = JpaTdP+ Jm(x)#dx. (14.9)
Т = const V0 x0
В этом равенстве bQ означает количество теплоты, поступающей в газ под
поршнем из окружающей среды (термостата) с постоянной температурой. Таким
образом, работа, совершаемая идеальным газом при расширении при
постоянной температуре, производится за счет энергии, поступающей в газ в
форме теплоты из окружающей среды (термостата). Если стенки цилиндра
сделать теплонепроницаемыми (адиабатными), то поступление теплоты из
внешней среды становится невозможным. В этом случае работа при расширении
газа совершается за счет внутренней энергии газа: внутренняя энергия
уменьшается, температура газа понижается. В этом случае вместо уравнения
(14.9) закон сохранения энергии записывается в виде
V х
- j dU = JpaTdH+ Jm(x)gdx. (14.10)
56=0 V0 x0
Однако зависимость m от x, конечно, совсем другая, чем в (14.9). Эта
зависимость определяется законом адиабатного расширения газа (см. § 18).
§ 15 Дифференциальные формы и полные дифференциалы
Анализируются условия, при которых дифференциальная форма является полным
дифференциалом. Обсуждается связь полного дифференциала с существованием
функции состояния.
Дифференциальные формы. В (14.3) бесконечно малые величины bQ, dU, 8Д
обозначены по-разному: одни - с помощью символа d, а другие - с помощью
8. Необходимость подобных обозначений обусловлена различием в свойствах
этих бесконечно малых величин.
Допустим, что имеются некоторые независимые переменные. Сначала
рассмотрим случай одной независимой переменной, например х. Дифференциал
этой величины - dx. Пусть /(х) dx - бесконечно малая величина, где Дх) -
произвольная функция. Спрашивается, нельзя ли эту бесконечно малую
величину представить в виде бесконечно малого приращения некоторой
функции F(x) в двух соседних точках, отстоящих на dx, т. е. в виде
f(x)dx = F(x + dx) - F(x). (15.1)
Да, можно в подавляющем большинстве случаев. Однако здесь нет
необходимости останавливаться на некоторых математических тонкостях,
связанных с недифференцируемыми функциями и т. д., и поэтому достаточно
