Молекулярная физика. Том 2 - Матвеев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
не должны учитываться, т. е. необходимо проинтегрировать по всей области
изменения {р} и результаты разделить на п\:
z= '
г е pi + P22 + ... + P2"l
J-. ехр 2mkT J
{dp}. (12.24а)
(2 nhfnn\
Интегралы в (12.24а) по каждой из переменных dрх, dру, dpz идентичны и
равны
00
J exp [-p2/(2mkT)~] dp = (2птпкТ)112,
поэтому
f... f exp [- (Pi + р| + ... + РЙ/(2т/сГ)] {dp} =
- 00
\ Зп
- 00
Н I exp[-p2/(2m/cT)]dpi =(2nmkT)3n/2. (12.246)
Принимая во внимание формулу Стирлинга (5.11), окончательно для
статистического интеграла (12.24а) находим
Z=(23^(2J(tm)/?T)3"'2 (1Z25)
Знание статистической суммы (или интеграла) позволяет определить
термодинамические функции и величины, характеризующие систему. Примеры
вычислений такого типа будут рассматриваться в дальнейшем. Вычислим
среднюю энергию одноатомного газа, воспользовавшись формулой (7.15).
Логарифмируя обе части (12.25), находим
. Г (2лт/сГ)3/2 У~
п (Intif
Учитывая, что (3 = 1 /(/с Г), из (12.26) на основании (7.15) получаем
In Z = + п < In
+ 1 . (12.26)
<8>
- зр ["1п рз1/2
=т"ж(1пР)=т"'сТ- (1Z27)
Это и есть средняя энергия газа, состоящего из п одинаковых одноатомных
молекул. На одну молекулу приходится энергия <в)/п = 3/2 кТ, а на одну
степень свободы поступательного движения молекулы - энергия 1/2 кТ, как
это и должно быть в соответствии с законом равнораспределения энергии по
степеням свободы.
110 1. Статистический метод
§ 13 Броуновское движение
На примере броуновского движения излагается элементарная теория случайных
блужданий.
Обсуждается экспериментальное определение постоянной Больцмана из
результатов наблюдений броуновского движения. Рассматриваются
вращательное броуновское движение и проявление броуновскою движения в
макроскопических явлениях.
Сущность. Достаточно мелкие частицы, взвешенные в жидкости, при
наблюдении под микроскопом представляются находящимися в непрерывном
дрожании. Это дрожание с течением времени не изменяется и продолжается
сколь угодно долго. Оно наблюдается в жидких включениях ископаемых
минералов, образовавшихся многие тысячелетия тому назад. Это дрожащее
движение называется броуновским по имени английского ботаника Р. Броуна,
открывшего его в 1827 г.
Молекулярно-кинетическое объяснение этого явления было предложено в 1905
г. А. Эйнштейном и независимо в 1906 г. польским физиком М. Смолуховским
(1872 -1917). Они разработали теорию явления, которая позволила
использовать его для подтверждения молекулярно-кинетической теории.
Сущность этого движения в следующем. Частицы вместе с молекулами жидкости
образуют единую статистическую систему. В соответствии с теоремой о
равнораспределении энергии по степени свободы на каждую степень свободы
броуновской частицы должна приходиться энергия г/2кТ. Энергия 3/2кТ,
приходящаяся на три поступательные степени свободы частицы, приводит к
движению ее центра масс, которое и наблюдается под микроскопом в виде
дрожания. Если броуновская частица достаточно жестка и ведет себя как
твердое тело, то еще 3/2 кТ энергии приходится на ее вращательные степени
свободы. Поэтому при своем дрожащем движении она испытывает также и
постоянные изменения ориентировки в пространстве. Вращательное
броуновское движение проще наблюдать на других объектах, а не на
частицах, взвешенных в воде. Поэтому, говоря о броуновском движении
частиц, взвешенных в воде, имеют в виду дрожание центра масс частиц.
Случайное блуждание. Уравнивание средних кинетических энергий происходит
вследствие беспорядочных столкновений между частицами, а движение каждой
из частиц в результате столкновений является случайным процессом.
Рассмотрим положение броуновской частицы через неко-
tS
Эйнштейн Альберт (1879-1955)
§ 13. Броуновское движение 111
q "
торые фиксированные промежутки времени. Начало координат поместим в точку
О, в которой частица находится в начальный момент времени. Обозначим qf
вектор, который характеризует перемещение частицы между (i - 1)-м и i-м
наблюдениями. По истечении п наблюдений частица сместится из нулевого
положения в точку с радиус-вектором гп (рис. 22):
Перемещение частицы в промежутках времени между моментами наблюдения
происходит не по прямой линии, а по столь же сложной изломанной линии,
как и перемещение от исходной точки к точке, характеризуемой радиус-
вектором г". Можно произвести серию опытов, в каждом из которых
броуновская частица выходит из начала и через п шагов приходит в
некоторую точку с радиус-вектором гп. Ясно, что все г" будут различными.
Вычислим средний квадрат удаления частицы от начала после п шагов в
большой серии опытов. Очевидно,
где <qf} - средний квадрат смещения частицы на i-м шаге в серии опытов
(ясно, что он для всех шагов одинаков и равен какой-то положительной
величине а2); <ЯЯ/> во второй сумме является средней величиной скалярного
произведения при i-м шаге на перемещение при j-м шаге в различных опытах.
Ясно, что эти величины совершенно независимы друг от друга, одинаково
