Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Матвеев А.Н. -> "Молекулярная физика. Том 2" -> 51

Молекулярная физика. Том 2 - Матвеев А.Н.

Матвеев А.Н. Молекулярная физика. Том 2 — М.: Высшая школа, 1981. — 400 c.
Скачать (прямая ссылка): molekulyarnayafizikat21981.djvu
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 181 >> Следующая

определению системы центра масс,
I>"Гу = 0. (12.14)
j
Скорость j-й частицы в системе центра масс равна г у = Vy, и,
следовательно, на основании (12.14) должно выполняться равенство
1>,ЛЦ = 0. (12.15)
j
Полная кинетическая энергия сложной частицы равна
^ =Х^+2Х +JrJ2-=ilmi+
j j j j j
• (12.16)
где v i - скорость центра масс.
Второй член равен нулю [см. (12.15)], первый член есть кинетическая
энергия тр}/2, обусловленная движением центра масс. Скорость vy можно
разложить на две составляющие: скорость со х Гу вращения сложной частицы
как целого вокруг мгновенной оси вращения с угловой скоростью со и
скорость Vy колебательного движения:
vy = со х Гу + \'/j, (12.17)
поэтому
= х r|/ + 2^^(5x + (12.18)
j J j j
Первое слагаемое в (12.18) преобразуется к члену с квадратами компонент
угловых скоростей в (12.13), второе слагаемое равно нулю в силу взаимной
перпендикулярности скоростей со х Гу и Vy, а третье, расписанное по
компонентам на оси координат в (12.13), дает как раз члены с г)у. Что
касается членов ^у, то их присутствие очевидно из вида потенциальной
энергии для осциллятора и аддитивности потенциальной энергии. Тем самым
запись энергии сложной частицы в виде (12.13) полностью обоснована.
Объем элементарной ячейки фазового пространства (12.1) теперь должен
включать степени свободы для всех частиц. Поэтому под совокупностью
дифференциалов {dx} {dp} следует понимать координаты и импульсы центров
масс сложных частиц, дифференциалы переменных d?,y, учитывающих
внутреннюю потенциальную энергию сложной частицы, связанную с
соответствующей степенью свободы, дифференциалы переменных dr) у,
учитывающих кинетическую энергию внутренних степеней свободы частицы,
дифференциалы (fcotl, dcoi2, dcof3, учитывающие вращательную энергию
сложной частицы. Строго говоря, дифференциалы dr)у и dcoy (у = 1, 2, 3)
надо выразить в виде переменных, имеющих размерность импульса, что
несложно. Однако в этом нет необходимости для вычисления средних,
поскольку появляющиеся при этом сомножители сокращаются.
108 1. Статистический метод
Теорема о равнораспределении энергии по степеням свободы. Теперь можно
найти среднюю энергию, приходящуюся на любую степень свободы частицы по
формулам для среднего и формулам, аналогичным (12.7). Определим,
например, среднюю энергию, приходящуюся на вращательную степень свободы
iy, т. е. на вращательную степень свободы i-и частицы с компонентой у:
/! , п2\ ЯЛ-<ехр(- pj,r</2)/2]dc0(Jexp(- P4){dx}{dp}'
2 'т " f exp (- PJ%и>^/2) dcoi( J exp (- P4) {dx} {dp}'
где {dp}' - совокупность всех дифференциалов, за исключением того,
который выделен в другой интеграл. Вычисления в (12.19) одинаковы с
расчетами в (12.7). Тогда
(12.20)
Аналогично для средней кинетической энергии и средней потенциальной
энергии, приходящейся на отдельные колебательные степени свободы,
находим:
> = укт, <
Щч=ит. 2 х 2
(12.21)
Средняя кинетическая энергия, приходящаяся на одну степень свободы
движения центра масс сложной частицы, вычисляется точно так же, как в
(12.7), и равна 1/2кТ. Тем самым доказано, что на все степени свободы
статистической системы приходится одна и та же энергия, равная l/zkT. Это
утверждение называется теоремой о равнораспределении энергии по степеням
свободы. Уместно еще раз напомнить, что это утверждение не относится к
потенциальной энергии частиц во внешних полях. Во внешних полях
потенциальная энергия частицы может иметь среднее значение, отличное от
1/2кТ.
Закон равнораспределения энергии по степеням свободы имеет очень большое
значение. Благодаря ему при смешении различных идеальных газов с
одинаковой температурой смесь имеет ту же температуру, что и смешиваемые
компоненты, а давление смеси при этом подчиняется закону Дальтона.
Пример 12.1. Вычислить статистическую сумму (7.16) для одноатомного газа.
В экспоненте (7.16) энергия га равна сумме кинетических энергий п
рассматриваемых частиц:
ва = [l/(2m)] (р?а + pL + ... + p2m), (12.22)
где первый индекс у р нумерует частицы, а индекс а характеризует
различные состояния системы п частиц; m - масса частиц. Потенциальная
энергия частиц равна нулю и внутренние степени свободы отсутствуют.
Перейдем в (7.16) от суммирования к интегрированию. Для этого умножим
каждый член в (7.16) на бГ из (12.2) и проинтегрируем по 6Г. Тогда
получим
§ 12. Распределение энергии по степеням свободы 109
статистический интеграл
Z = J exp [- (р2 + р2 + ... + р2п)/(2ткТ)] dr, (12.23)
г
где Г' - область интегрирования по всему фазовому пространству Г за
вычетом физически одинаковых точек этого пространства.
Интегрирование по dr предусматривает интегрирование по совокупности
пространственных переменных {dx} и импульсных переменных {dp}. Поскольку
подынтегральное выражение в (12.23) пространственных переменных не
содержит, интегрирование по {dx} дает множитель V", где V- объем,
занимаемый газом. При интегрировании по {dp} необходимо исключить
физически эквивалентные состояния. Это означает, что перестановки частиц
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 181 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed