Точки либраций в небесной механике и космодинамике - Маркеев А.П.
Скачать (прямая ссылка):
§ 4. Результаты нелинейного исследования устойчивости
С. Г. Журавлевым в работах [25, 184, 1851 проведено подробное нелинейное исследование устойчивости точек либрации Pt для значений параметров еа, ер, принадлежащих области / рис. 48, где выполняются необходимые условия устойчивости. Нелинейное исследование представляет значительные трудности, потому что в области /, как показано в статье [184], гамильтониан возмущенного движения не будет знакоопределенной функцией. Здесь ситуация совершенно аналогична той, которая имеет место в задаче об устойчивости треугольных точек либрации круговой ограниченной
Рис. 48. Области устойчивости и неустойчивости точек либрации трехосного гравитирующего эллипсоида.
НЕЛИНЕЙНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ
задачи трех тел (см. главы 7 и 8 книги). Совсем не останавливаясь на очень громоздких вычислениях, проведенных в работах [25,
184, 185], приведем только окончательные результаты.
Рассмотрим сначала случай плоской задачи, т. е. случай, когда материальная точка во все время движения не выходит из плоскости экваториального сечения эллипсоида. В статье [1841 показано, что в области / существуют кривые, на которых частоты 0)2 удовлетворяют резонансным соотношениям третьего и четвертого порядков а»! = 2о)2 ий)] = Зо)2. Эти кривые представлены на рис. 48. Расчеты, проведенные в [184, 185], показали, что для значений параметров еос, ер, лежащих на кривой = 2со2 и на части кривой о»! = Зсо2, где выполняется неравенство —0,0634 ер —0,0629, точки либрации неустойчивы по
Ляпунову. В остальной части области / точки либрации устойчивы ПО Ляпунову (кроме, быть может, двух точек кривой О»! = 3(02г в которых еР = —0,0634 или —0,0629; эти две точки разделяют на кривой ©і = Зо)2 интервалы устойчивости и неустойчивости, в них вопрос об устойчивости остался открытым). Отметим, что для исследования устойчивости в нерезонансном случае в работах [184, 185], как и в главе 7 настоящей книги, пришлось учесть в разложении гамильтониана члены до шестого порядка включительно относительно координат и импульсов возмущенного движения.
В случае пространственной задачи, т. е. когда материальная точка в возмущенном движении может выходить из плоскости экваториального сечения эллипсоида, неустойчивость на кривой о»! = 2о)2 и на части резонансной кривой — Зсо2, конечно,
остается. Если же параметры еа, еР таковы, что резонансные
соотношения о»! = 2о)2 и (Oj = Зо)2 не выполнены, то, как показано в работе [25], точки либрации, лежащие на продолжении малой, полуоси экваториального сечения эллипсоида, будут устойчивы для большинства (в смысле меры Лебега) начальных условий.
В статье [184] рассмотрен вопрос об устойчивости точек либрации для случая Земли. Фигура Земли аппроксимировалась при помощи эллипсоида, мало отличающегося от шара. Параметры еа и еР оказались очень малыми и не лежат на кривых o)i = 2co^ и о»! == Зо)2. Поэтому для Земли точки либрации, расположенные на продолжении малой полуоси экваториального сеченйя аппроксимирующего эллипсоида, устойчивы по Ляпунову (в илоской задаче) или устойчивы для большинства. начальных, условий: (в пространственной задаче).
ЛИТЕРАТУРА
1. Абалакин В. К. К вопросу об устойчивости точек либрации в окрестности вращающегося гравитирующего эллипсоида.— Бюлл. ИТА, 1957, т. 6, № 8.
2. А р но л ь д В. И. Об устойчивости положений равновесия гамильтоновой системы обыкновенных дифференциальных уравнений в общем эллиптическом случае.— Доклады Академии наук СССР, 1961, т. 137, № 2, с. 255—257.
3. А р н о л ь д В. И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике.— Успехи математических наук,
1963, т. 18, вып. 6, с. 91—192.
4. А р н о л ь д В. И. Доказательство теоремы А. Н. Колмогорова о сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона.— Успехи математических наук, 1963, т. 18, вып. 5, с. 13—40.
-5. Арнольд В. И. О неустойчивости динамических систем со многими степенями свободы.— Доклады Академии наук СССР, 1964, т. 156, № 1, с. 9—12.
*6. Б а т р а к о в Ю. В. Периодические движения частицы в поле тяготения вращающегося трехосного эллипсоида.— Бюлл. ИТА, 1957, т. 6, № 8.
7. Биркгоф Дж. Д. Динамические системы. М.; JI.: Гостехиздат, 1941.
8. Б о р н М. Лекции по атомной механике. Харьков, 1934.
9. Брауэр Д., Клеменс Дж. Методы небесной механики. М.: Мир,
1964.
-10. Б р ю н о А. Д. Неустойчивость в системе Гамильтона и распределение астероидов.— Матем. сб., 1970, т. 83, вып. 2, с. 273.
11. Б р ю н о А. Д. Аналитическая форма дифференциальных уравнений.— Труды московского математического общества, 1971, т. 25, с. 119—262.
12. Брюно А. Д. Аналитическая форма дифференциальных уравнений.— Труды московского математического общества, 1972, т. 26, с. 199— 239.
13. Б р ю н о А. Д. О формальной устойчивости систем Гамильтона.— Математические заметки, 1967, т. 1, № 3, с. 325—330.
14. Б р ю н о А. Д. О локальных задачах механики. Препринт ИПМ АН СССР, № 96, 1973.
15. Булгаков Б. В. О нормальных координатах.— Прикладная математика и механика, 1946, т. 10, вып. 2, с. 273.
