Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.
Скачать (прямая ссылка):
точного спектра. Сравнивая эти графики, можно сделать два заключения
качественного характера. Во-первых, наличие отрицательного минимума
приближенной кривой указывает на существование запрещенной зоны. Во-
вторых, при малых со кривая приближенного спектра осциллирует около
точной кривой. В связи с первым замечанием можно сказать, что если в
спектре имеется не очень большое число зон и каждая из них достаточно
широка, то их положение можно приближенно определить с помощью разложения
по полиномам Лежандра. В связи со вторым замечанием мы приводим фиг. 12,
где изображены последовательные приближения спектра одномерной
неупорядоченной решетки. Мы видим, что при низких частотах осцилляции
имеют место не только для каждого отдельного приближения,
9 Зах. 1491
130
Глава 111
ио и что все последовательные приближения осциллируют друг относительно
друга. Это объясняется тем, что низкочастотный конец спектра
представляется медленно изменяющейся функцией от (c) и поэтому плохо
Фиг. 11. Сравнение точного спектра собственных частот двухатомной решетки
с приближенным разложением по полиномам Лежандра, построенным по 14
моментам.
воспроизводится линейной комбинацией небольшого числа полиномов Лежандра.
Кроме того, низкочастотный конец спектра вносит очень малый вклад в
моменты, что дает дополнительное основание считать рассматриваемое
приближение слишком грубым для низких частот. Для более высоких частот
точность приближения несколько улучшается.
w/wL
Фиг. 12. Последовательные приближения к спектру собственных частот
неупорядоченной одномерной ре* шетки, вычисленные с помощью 16, 18 и 20
моментов.
Отношение тяжелой массы х легкой равно 2, частицы обоих сортов содержатся
в решетке в равных количествах*
9*
132
Глава III
Метод моментов был применен Монтроллом и его сотрудниками [123, 124, 128]
для вычисления спектров собственных частот двумерной квадратной решетки,
а также простой и объемноцентрированной кубических решеток. Аналитическое
выражение моментов двумерной квадратной решетки было получено Уолнетом
[129].
Метод моментов с учетом особенностей спектра
Одним из основных недостатков рассмотренного нами метода моментов
является неточность получаемого с его помощью спектра в окрестности
особых точек. Уточненный метод моментов, в котором учитываются
особенности спектра, определяемые из дисперсионной формулы, был предложен
Лансом и Лебовичем [130] и независимо Розенштоком [89]. Предположим, что
функцию G (to2) можно представить в виде
О((02) = О,Ю + /?((й2),
где G,((c)2) и /?(ю2) соответственно сингулярная и аналитическая части
функции G(to2). В методе Лакса и Ле-бовича предполагается, что функцию
Gs(<d2) можно восстановить по известным критическим точкам. Затем функцию
/? (to2) аппроксимируют разложением в ряд по N+2 полиномам Лежандра
N+1
О (X) = Os (*)+ 2 А^Рь (2х -1), (3.5.6)
где х = со2/(о2 и
1
Ajl°=(2k +1)'1 fPu( 2х-\) R(x) dx. (3.5.7)
о
Первые N коэффициентов в этом разложении определяются из требования
совпадения N моментов точного и приближенного распределений. Оставшиеся
два коэффициента можно определить, фиксируя значения (?(*) на концах
интервала. Это приводит к следующим уело-
Теория спектров колебательных частот в твердом теле 133
виям:
^) + Ж1=/?(1)-2,лГ,
(3.5.8)
(-If ЛГ+(- 1)"+1Л^, = /?(0)- s'(- 1)'Л(Л
i=0
Коэффициенты АГ при k^N-1 не зависят от N. В качестве иллюстрации
эффективности этого метода авторы нашли приближенное выражение функции
распределения собственных частот двумерной квадратной решетки с
центральным взаимодействием между ближайшими и следующими за ними
соседними атомами. Точное выражение функции распределения для такой
решетки было получено ранее Монтроллом [76]. Чтобы показать преимущества
этого метода по сравнению с немодифицированным методом моментов, мы
приводим табл. 2, где результаты Лакса и Лебовича [Gm(*)] срав-
Тоб лица 2
Сравнение с немодифицированным [Gu(x>] и точным [0(х>] спектрами для
двумерной квадратной решетки
X оа(х) От(х) О (дг) X Оа(х) °т<*> О (х)
0 0,103 0,637 0,637 0,6 1,06 0,887 0,908
0,05 0,646 0,689 0,683 0,7 1,07 1,16 1.14
0,1 0,770 0,739 0,740 0,8 1,09 со оо
0,3 1,20 1,35 1,35 0,9 0,953 0,695 0,733
1/3 1.21 оо оо 0,95 0,664 0,619 0,631
0,4 1,20 1,18 1,17 1.0 0,561 0,551 0,551
0,5 1,12 0,937 0,951
ниваются с результатами, полученными по методу моментов, и с точным
спектром, найденным Монтроллом. Для получения приближенных спектров в
обоих случаях были использованы 6 моментов.
Из приведенного рассмотрения становятся очевидными достоинства и
недостатки метода Лакса и Лебовича. При использовании их метода надо
знать положение
134
Глава III
и вид особенностей функции G((oJ). Поэтому его применимость почти всегда
ограничена аналитическими моделями. В тех случаях, когда эту информацию
удается получить, рассмотренный метод является очень
Фиг. 13. Приближенный спектр собственных частот алюминия.
Сглаженная кривая была вычислена Фнллнпсом |85] с помощью разработанного
