Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.
Скачать (прямая ссылка):
вычисленный по методу Хаустона [132].
Пунктирной кривой изображена гистограмма, найденная Блекманом для этой же
модели. Обращают на себя внимание ложные особенности типа особенностей
одномерной решетки, обусловленные применением метода Хаустона.
достаток. Он пользовался представлением функции gj(<o, 0, ф) для каждой
ветви в виде ряда1) типа (3.5.19) только для первой особенности. Действуя
таким образом, можно получить правильное число и положение
*) Фактически Накамура использовал разложение в ряд Фурье, так как он
детально рассмотрел только случай двумерной решетки.
Теория спектров колебательных частот в твердом теле 143
особенностей, поскольку все особенности, кроме первой, являются ложными.
Однако все эти особенности оказываются особенностями типа обратной
величины квадратного корня, характерными для одномерных решеток, что
указывает на принципиальную ограниченность метода. Кроме того,
приближенные спектры будут сходиться к истинному только в том случае,
если число направлений, для которых можно найти gj(o>, 0, ср),
неограниченно возрастает. Если взять s направлений, то для определения
коэффициентов ат(а>) мы должны решить систему из s линейных уравнений.
Отсюда вытекает нецелесообразность применения этого метода в тех случаях,
когда для получения приближенного спектра требуется рассмотреть большее
число направлений, как, например, в случае сильно анизотропных
кристаллов. С другой стороны, метод моментов, или модифицированный метод
моментов, требует для улучшения качества приближения учесть лишь большее
число моментов, в то время как сама вычислительная процедура не
усложняется. Однако если положение особенностей точно не определено, то в
методе моментов обычно не наблюдается быстрой сходимости. Резюмируя,
можно сказать, что эти два метода в какой-то мере дополняют друг друга.
Метод моментов дает более точный результат для высоких частот, метод
Хаустона предпочтителен при низких частотах. Практически оба метода чаще
применяются для вычисления термодинамических величин, чем для вычисления
функции распределения собственных частот кристалла. Более подробное
обсуждение этих приложений будет дано ниже.
Хуанг [137] предложил модификацию метода Хаустона. Для определения
поверхностей постоянной частоты он пользовался интерполяцией между
участками, которые могут быть рассчитаны. Этот метод отличается от
использованного Накамурой разложения по сферическим гармоникам.
Единственный расчет, выполненный Хуангом, относился к двумерной модели
Бауэрса - Розенштока. Сочетание метода Хуанга с точным определением
особенностей привело к превосходному согласию с известным спектром
собственных частот для этой модели,
144
Глава III
Заканчивая обсуждение метода Хаустона, мы хотели бы подчеркнуть, что для
определения спектров собственных частот его применения следует всячески
избегать, по крайней мере в первоначальной немодифициро-ванной форме.
Направление в k-пространстве, для которого вековой определитель
разлагается на множители, всегда проходит через точку высокой симметрии
первой бриллюэновской зоны и, следовательно, через критическую точку,
которая всегда вносит в спектр ложную особенность. Мы подчеркиваем это
обстоятельство, так как даже теперь, много лет спустя после того, как
впервые была установлена несостоятельность метода Хаустона и выяснены ее
причины, продолжают появляться статьи, в которых "спектры", вычисленные
этим методом, рассматриваются как разумные приближения к реальным. Такие
спектры следует считать не только в количественном, но даже в
качественном отношении неверными. Главное и существенное достоинство
метода Хаустона заключается в простоте, с которой он позволяет вычислять
низкотемпературные значения термодинамических функций кристаллов (см. гл.
IV, § 2).
§ 6. Спектры собственных частот кристаллических решеток с дальнодействием
между ионами
До сих пор в нашем рассмотрении теории колебательных спектров неявно
предполагалось, что кристаллы, с которыми мы имели дело, состоят из
атомов или ионов, взаимодействующих друг с другом только посредством сил
конечного радиуса. Однако для большого числа кристаллов, например для
ионных кристаллов и, вероятно, даже для полупроводников со структурой
алмаза [109, ПО], это предположение не оправдывается. В течение последних
25 лет было направлено много усилий на исследование колебаний ионных
кристаллов, для которых доминирующую роль играет кулоновское
взаимодействие.
Первые расчеты колебательных спектров ионных кристаллов (Келлермана [92]
для NaCl и Иона [93] для КС1) существенно основывались на классической
модели щелочно-галоидных кристаллов, предложенной Бор-
Теория спектров колебательных частот в твердом, теле 145
ном [138], в которой предполагалось, что между ионами действуют
кулоновские силы и близкодействующие силы отталкивания. Как
электростатические силы, так и силы отталкивания предполагались
центральными. Для кубических кристаллов, в которых каждый ион может
